2022-2023学年高中数学 第1章 三角函数章末检测试卷 北师大版必修4

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1、2022-2023学年高中数学 第1章 三角函数章末检测试卷 北师大版必修4 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.计算cos(－780°)的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 考点　利用诱导公式求值 题点　利用诱导公式求值 答案　C 解析　cos(－780°)＝cos 780°＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝，故选C. 2.设角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α－cos α的值是(　　) A. B.－ C.－ D. 考点　三角函数定义 题点　三角函数定义 答案　C 3.若sin x·tan x<0，则角x

2、的终边位于(　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 考点　三角函数值符号的判断 题点　利用三角函数值符号判断角所在象限 答案　B 4.函数f(x)＝2cos是(　　) A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的偶函数 考点　三角函数奇偶性与周期性的综合应用 题点　三角函数奇偶性与周期性的综合应用 答案　A 解析　f(x)＝2cos＝2cos＝－2sin x， 故f(x)是最小正周期为2π的奇函数. 5.在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对

3、应的弧长为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长公式 答案　B 解析　∵165°＝×165 rad＝ rad， ∴l＝×10＝(cm). 6.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)与直线y＝的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是(　　) A. B.π C.2π D.4π 考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用 答案　B 解析　ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， |(ωx2＋φ)－(ωx1＋φ)|≥，|

4、x2－x1|≥， 令＝，得ω＝2，T＝＝π. 7.要得到函数y＝sin的图像，只需将y＝sin 的图像(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 考点　三角函数图像变换 题点　平移变换 答案　B 解析　y＝sin＝sin ，故只需将y＝sin 的图像向右平移个单位长度. 8.函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　) A.y＝sin 2x－2 B.y＝2cos 3x－1 C.y＝sin－1 D.y＝1－sin 考点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 题点　由图像

5、求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　D 解析　由题图得＝－，∴T＝π＝， 又ω>0，∴ω＝2，∴y＝1＋sin(2x＋φ)， 当x＝时，0＝1＋sin， ∴2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－－＝2kπ－(k∈Z). ∴y＝1＋sin＝1－sin＝1－sin，故选D. 9.下列函数中，在区间上为减函数的是(　　) A.y＝cos x B.y＝sin x C.y＝tan x D.y＝sin 考点　正弦函数、余弦函数的单调性 题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案　A 解析　对于A，函数y＝cos x在区间上是减函数，满足题意；对于B，函

6、数y＝sin x在区间上是增函数，不满足题意；对于C，函数y＝tan x在区间上是增函数，且在x＝时无意义，不满足题意；对于D，函数y＝sin在区间上是增函数，不满足题意.故选A. 10.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A.2－ B.0 C.－1 D.－1－ 考点　三角函数的值域或最值 题点　化为y＝Asin(ωx＋φ)型求最值 答案　A 解析　因为0≤x≤9，所以0≤x≤， －≤x－≤－， 即－≤x－≤， 所以当x－＝－时，y＝2sin(0≤x≤9)有最小值2sin＝－， 当x－＝时， y＝2sin(0≤x≤9)有最大值2sin

7、＝2， 所以最大值与最小值之和为2－. 11.已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(　　) A.1 B.－ C.－1 D.－4 考点　利用诱导公式求值 题点　综合应用诱导公式求值 答案　A 解析　根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3， 所以＝＝tan α－＝－＝1.故选A. 12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A.11 B.9 C.7 D.5 考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用

8、答案　B 解析　因为x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)的图像的对称轴，所以－＝＋kT(k∈N)，即＝·T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N).又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.设ω>0，函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是 . 考点　三角函数图像变换 题点　平移变换 答案　 解析　向右平移个单位长度得y＝sin＋2＝sin＋2. ∵与原函数图像重合，故－ω＝2nπ(n∈Z)， ∴ω＝－n(n∈Z)，∵ω>0，∴ωmin

9、＝. 14.函数y＝tan(sin x)的定义域为 ，值域为 . 考点　正切函数的定义域、值域 题点　正切函数的定义域、值域 答案　R　[tan(－1)，tan 1] 解析　因为－1≤sin x≤1， 所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1， 所以y＝tan(sin x)的定义域为R，值域为[tan(－1)，tan 1]. 15.若f(x＋2)＝则f ·f(－98)＝ . 考点　三角函数与分段函数的综合 题点　三角函数与分段函数的综合 答案　2 解析　f ＝tan ＝1， f(－98)＝f

10、(－100＋2)＝lg 100＝2， 所以f ·f(－98)＝1×2＝2. 16.有下列说法： ①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π； ②终边在y轴上的角的集合是； ③在同一直角坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像有三个公共点； ④把函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像； ⑤函数y＝sin在[0，π]上是减函数. 其中，正确的说法是 .(填序号) 考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用 答案　①④ 解析　对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故

11、①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sin x与y＝x的图像，可知两个函数只有(0，0)一个交点，故③错；对于④，y＝3sin的图像向右平移个单位长度后，得y＝3sin＝3sin 2x，故④对；对于⑤，y＝sin＝－cos x在[0，π]上为增函数，故⑤错. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10分)化简： (1)＋； (2)cos＋cos(k∈Z). 考点　利用诱导公式化简 题点　利用诱导公式化简 解　(1)原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0. (2)当k＝2n，n∈Z时， 原式＝cos＋cos ＝cos＋co

12、s ＝cos＋cos＝cos＋cos＝2cos. 当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos＋cos＝cos＋cos ＝－cos－cos＝－2cos. 18.(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b. (1)当a＝1时，求函数f(x)的递减区间； (2)当a<0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2，3]，求a，b的值. 考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点　正弦函数性质的综合应用 解　(1)当a＝1时，函数f(x)＝sin＋1＋b. 因为函数y＝sin x的递减区间为(k∈Z)， 所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k

13、∈Z)时，f(x)是减函数. 所以函数f(x)的递减区间是(k∈Z). (2)f(x)＝asin＋a＋b， 因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤， 所以－≤sin≤1. 又因为a<0，所以a≤asin≤－a， 所以a＋a＋b≤f(x)≤b. 因为函数f(x)的值域是[2，3]， 所以a＋a＋b＝2且b＝3， 解得a＝1－，b＝3. 19.(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M . (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的值域. 考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性

14、质 题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用 解　(1)由最低点为M ，得A＝2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为， 得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2. 由点M 在图像上，得2sin＝－2， 即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－(k∈Z). 又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin. (2)∵x∈，∴2x＋∈， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1， 故f(x)的值域为[－1，2]. 20.(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如表： x －

15、 f(x) －1 1 3 1 －1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围. 考点　三角函数与方程的解的综合应用 题点　三角函数与方程的解的综合应用 解　(1)设f(x)的最小正周期为T， 则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1， 又解得 令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 取φ＝－， 所以f(x)＝2sin＋1. (2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周

16、期为，又k＞0，所以k＝3. 令t＝3x－， 因为x∈， 所以t∈， 如图，sin t＝s在上有两个不同的解， 则s∈，所以方程f(kx)＝m在x∈时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3). 21.(12分)大风车叶轮最高顶点离地面14.5 m，叶轮旋转所成圆的直径为14 m，叶轮以每分钟2周的速度匀速转动，叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点.假设叶轮顶点离地面高度y(m)与叶轮顶点离地面最低点开始转动的时间t(s)建立一个数学模型，用函数y＝asin ω(t－b)＋c来表示，试求出其中四个参数a，b，c，ω的值，并写出函数解析式.

17、 考点　三角函数模型在物理中的应用 题点　三角函数模型在物理中的应用 解　∵叶轮每分钟旋转2周，∴f＝＝. 又∵f＝，T＝，∵f＝， ∴ω＝2πf＝2π×＝. 又∵叶轮旋转所成圆的直径为14 m， ∴叶轮应该在离圆心上下、左右7 m范围内变化， 即函数振幅a＝7. 根据叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点， 可得ω(16－b)＝，即b＝16－＝. 圆心离地面高度7.5 m不变，即c＝. 故函数解析式为y＝7sin(t－)＋. 22.(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图像与y轴相交于点(0，)，且其最小正周期是π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点A，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值. 考点　三角函数图像的综合应用 题点　三角函数图像的综合应用 解　(1)将(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)，得cos θ＝， 因为0≤θ≤，所以θ＝. 由最小正周期是π，且ω＞0，得ω＝＝＝2. (2)由已知得P，将点P的坐标代入y＝2cos中，得cos＝. 又≤x0≤π，所以≤4x0－≤， 所以4x0－＝或，解得x0＝或.