2022年高二数学 寒假作业（二）

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1、2022年高二数学 寒假作业（二） 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1． 是虚数单位，复数对应的点位于复平面的（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．曲线在点处的切线方程为　　　　　　( 　 ) A． B． C． 　 D． 3． 有一段演绎推理是这样的：“因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数”，结论显然是错误的，导致该推理错误的原因是（　　） A．推理形式错

2、 B． 小前提错 C．大前提错 D． 大前提和小前提都错 4．下列函数中，在区间内为增函数的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．利用定积分的几何意义，求得的值为（　　） A． 　B． C． D． 6．对任意，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间（　　） A． B．

3、 C． 　 D． 8．设， 则（　　） Ａ． 　Ｂ． Ｃ． 　 Ｄ． 9．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（　　） Ａ． 　Ｂ． 　 Ｃ． 　 Ｄ． 10．某个命题与正整数有关，如果当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立．现已知当时该命题不成立，那么下列判断正确的是 ( ) A．当时，该命题成立 B．当时，该命题不成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 11．设函数在处取得极大值，则的值为 （

4、） A． B． C． 或 D． 12．设已知当或时，方程只有一个实数根，当时，方程有三个相异实数根．那么下列是假命题的是（ ）A A．方程的任一实数根大于方程的任一实数根 B．方程的任一实数根小于方程的任一实数根 C．方程和方程有一个相同的实数根 D．方程和方程有一个相同的实数根 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．） 13．当时，函数取到极大值，则等于 ． 14．已知函数的导函数为，且满足，则 ． 15．

5、如图，函数的图象在点P处的切线是， 则=___ ______． 16．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．给定以下四个函数： ①；②；③ ；④． 则在上不是凸函数的是　　　　　　　　．（填上函数对应的序号） 三、解答题（本部分共计6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请 在指定区域内作答，否则该题计为零分．） 17． (本小题满分12分) 已知点是曲线上的点，且点的横坐标是1． （Ⅰ）求证：函数在上单调递增； （Ⅱ）求曲线在点处的切线方程． 18．(本小题满分12分

6、)现有两种投资方案，当投资额为万元时，方案所获得的收益分别为万元与万元， 其中，（，），已知投资额为0时，收益为0． （Ⅰ）试求出、的值； （Ⅱ）如果某人准备投入5万元对这两项方案投资，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值．（精确到0．1，参考数据：） 19．(本小题满分12分) 已知数列的前项和为． （Ⅰ）计算； （Ⅱ）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明． 20．(本小题满分12分) 已知函数（，，为常数）在处切线的斜率为． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）记函数，若的最小值为，求实数的值．K^S*5U.C#O%

7、 21．（本小题满分12分）已知函数在处取得极值． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）计算由直线与曲线所围成的封闭图形的面积； （Ⅲ）在两组直线系，中，是否存在与函数的图象相切的直线？若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由． 22．(本小题满分14分)已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围； （Ⅲ）已知且，求证：． 南安一中xx届高二年数学寒假作业（二）（理科）参考答案 （选修2－2） 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 二、 选择题 1~6：A B C D C C ； 7~12： D

8、 D D B A A 10．解析：利用逆否命题，条件即等价于“若时该命题不成立，则时该命题也不成立”，故选B． 11．解析：求得，令，则或．当时，，则在处取得极小值，不符合，故选A． 12．解析：把问题都转化为两种曲线的交点，由图可知，A错误， 故选A． 二、填空题 13． ； 14． ； 15． ； 16．② 15．解析：可知直线为，把代入得，又，所以，故填． 16．解析：对于②：，则在上不恒成立，不符合条件．经检验，其他函数都符合条件，故填②． 三、解答题 17．解：（Ⅰ） …………2分 ，…………4分 所以函数在上单调递增．…………6分 （Ⅱ）

9、令，则，即点的坐标为．…………8分 又…………10分 所以曲线在点处的切线方程为，即．…………12分 18．解：（Ⅰ）根据问题的实际意义，可知，； 即 ∴…………………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得：，， 依题意，设对 B方案投入万元，则投入A方案的资金为万元,所获得的收益为万元，………………3分 则有 …………6分 ∵， 令，得； ……………………7分 当时，；当时，； …………8分 ∴是在区间上的唯一极大值点，此时取得最大值： （万元）, 此时，（万元）………11分 答：当对 A方案投入2万元，对 B方案投入3万元时，可以获得

10、最大收益,最大收益为万元．……………………12分 19．解：（Ⅰ），， ，．…………4分 （Ⅱ）猜想．…………6分 证明：（1）当时，左边，右边， 所以当时猜想成立．…………7分 （2）假设时猜想成立， 即．…………8分 那么，时 ， 所以，当时猜想成立．…………11分 根据（1）（2），可知猜想对任何都成立．…………12分 20．解：（Ⅰ），…………2分 因为函数在处切线的斜率为， 所以，所以．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以．…………6分 令，…………7分 ， ．当变化时，的变化情况如下表： － 0 ＋ ↘

11、 ↗ 所以函数在时取得极小值也为最小值，………………10分 此时，求得．………………12分 21．解：（Ⅰ），由条件知，求得…………2分 经检验，当时函数在处取得极值．…………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则或．………4分 当时，， 所以．…………６分 （Ⅲ）当时，直线与函数的图象相切；直线与函数的图象都不相切．…………７分 理由如下：．…………９分 直线的斜率，令，则 所以切点为，代入，求得．…………11分 直线的斜率， 所以不存在值，使得直线与函数的图象相切．…………12分 22．解：（Ⅰ）当时，，定义域为． 令，则．………………2分 则当时，当时， 故的单调递增区间为，单调递减区间为．………………4分 （Ⅱ）令．………………5分 若，则在区间上恒成立，则在区间上无极值；……………6分 若，令 ，则． 当变化时，的变化情况如下表： ＋ 0 － ↗ ↘ 故在处取得极大值．要使在区间上无极值，则．……8分 综上所述，的取值范围是． ………………9分 （Ⅲ）由（II）知，当时，在处取得最大值0，……10分 即 （当时等号成立）． 令（且），则，即…………12分 ，故．………………14分