（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第4节 事件与概率学案 理 新人教B版

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1、 第4节　事件与概率 最新考纲　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 知 识 梳 理 1.概率与频率 (1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). (2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似. 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

2、B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅P(A∪B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)

3、必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). [常用结论与微点提醒] 1.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数. 2.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　) (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.(　　) (3)若随机事件A发

4、生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　) (4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材习题改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　) A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”

5、与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件. 答案　C 3.(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　) A. B. C. D. 解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝. 答案　A 4.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为(　　) A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9 解析　依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案　A 5.

6、(2018·北京东城区调研)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________. 解析　由表格知，至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74. 答案　0.74 考点一　随机事件间的关系 【例1】 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白

7、球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为(　　) A.① B.② C.③ D.④ (2)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是(　　) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 解析　(1)至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.故②中两事件是对立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②，选B. (2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是

8、移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为. 答案　(1)B　(2)A 规律方法　1.准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生. (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 【训练1】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是

9、奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是(　　) A.① B.②④ C.③ D.①③ 解析　从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数. 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件. 又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件. 答案　C 考点二　随机事件的频率与概率 【例2】 (2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完

10、.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天

11、销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率. 解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝9

12、00， 所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8. 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 规律方法　1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 提醒　概率的定义是求一个事件概率的基本方法. 【训练2】 (201

13、8·沈阳调研)某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率. 日销售量(枝) (0，50) [50，100) [100，150) [150，200) [200，250] 销售天数 3天 5天 13天 6天 3天 (1)求这30天中日销售量低于100枝的概率； (2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率. 解　(1)设鲜花店日销售量为x枝， 则P(0

14、的概率P＝＋＝. (2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况. 所以所求事件发生的概率P＝. 考点三　互斥事件与对立事件的概率 【例3】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)(一题多解)至少3人排队等候的概率. 解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件

15、C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一　记“至少3人排队等候”为事件H， 则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 规律方法　1.求解本题的关

16、键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来. 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法. 【训练3】 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)

17、1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分别为，，. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 基础巩固题组 (建议用时：4

18、0分钟) 一、选择题 1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 解析　由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件. 答案　A 2.设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　) A.两个任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.对立事件 解析　因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝

19、P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件. 答案　B 3.(2018·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　) A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 解析　记“抽检的产品是甲级品”为事件A，是“乙级品”为事件B，是“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝ 1－5%－3%＝92%＝0.92. 答案　C 4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概

20、率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A. B. C. D.1 解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥. 由于P(A)＝，P(B)＝. 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案　C 5.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪B发生的概率为(　　) A. B. C. D. 解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果. 依题意P(A)＝＝，P(B)

21、＝＝， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－＝. ∵B表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A与B互斥， 从而P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案　C 二、填空题 6.给出下列三个命题，其中正确命题有________个. ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 解析　①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念. 答案　0 7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随

22、机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 解析　20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝＝. 答案　 8.如果事件A与B是互斥

23、事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________. 解析　设P(A)＝x，则P(B)＝3x， 又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64， 所以x＝0.16，则P(A)＝0.16. 答案　0.16 三、解答题 9.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下： 获奖人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值； (2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.4

24、4，求y，z的值. 解　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥. (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56. 解得x＝0.3. (2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44. 解得y＝0.2. 10.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的

25、保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 解　(1)事件A发生当

26、且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3， 故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.19

27、2 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　设被污损的数字为x，则 甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90， 乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)， 若甲＝乙，则x＝8. 若甲＞乙，则x可以为0，1，2，3，4，5，6，7， 故P＝＝. 答案　C 12.某城市2017年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 30 60 1

28、00 110 130 140 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________. 解析　由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝. 答案　 13.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/(

29、分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率). 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ＝1.9(分钟). (2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝. 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 12