（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第30讲 平面向量的平行与垂直学案 理

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1、 第30讲　平面向量的平行与垂直 考试要求　1.掌握向量平行与向量垂直的充要条件(B级要求)；2.能应用向量平行与向量垂直的条件解决相关证明与应用问题(B级要求). 诊 断 自 测 1.下面说法中正确的有________(填序号). ①若a∥b，则存在λ∈R，使a＝b； ②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b； ③(必修4P82习题8改编)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，λ).若a∥b，则实数λ＝； ④(必修4P81练习2改编)已知向量a＝(5，12)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan α＝； ⑤(必修4P99本

2、章测试改编)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(3，－2)，若a⊥b，则x＝. 解析　①当a≠0，b＝0时，b一定为0，故此时不存在∈R，使a＝λb； ②当a＝0或b＝0时，x1x2＋y1y2＝0成立，但只有两非零向量的夹角为90°时，称为a⊥b； ⑤由3x－2＝0得x应该为. 答案　③④ 2.(2017·无锡高三上学期期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________. 解析　由a＝(2，1)，b＝(1，－1)，得a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)， 因为a－b与ma＋b垂直，所以2m＋1＋2(m－1)＝0，解得m

3、＝. 答案　 3.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________. 解析　因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝. 答案　 4.(必修4P97复习题改编)已知向量a＝(－3，4)，向量b∥a，且|b|＝1，那么b＝________. 解析　设b＝(x，y)，则由已知得 解得或 答案　或 5.(必修4P97复习题10改编)

4、已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥(ka＋b)，则实数k＝________. 解析　由已知，－2a＋b＝(7，－4)， ka＋b＝(－3k＋1，k－2)，而(－2a＋b)⊥(ka＋b)， 故7(－3k＋1)＋(－4)(k－2)＝0，解得k＝. 答案　 知 识 梳 理 (1)两个向量平行的充要条件：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb；或a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. (2)两个非零向量垂直的充要条件：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0；或a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

5、考点一　向量的平行(共线)问题 【例1】 (1)(2015·全国卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. (2)(2018·南京一模)设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是 “tan θ＝”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 解析　(1)∵λa＋b与a＋2b平行， ∴存在μ∈R，使(λa＋b)＝μ(a＋2b)， 即λa＋b＝μa＋2μb， 又a，b不平行，故 解得λ＝. (2)由a∥b，得sin 2θ－cos2θ＝0，即cos θ＝0或2sin

6、 θ＝cos θ，∴充分性不成立.由tan θ＝＝，得2sin θ＝cos θ， ∴sin 2θ－cos2θ＝0，∴a∥b，∴必要性成立. 答案　(1)　(2)必要不充分 规律方法　当两向量平行且没有出现坐标时，一般使用“a∥b且b≠0，则存在λ∈R，使a＝λb”解题；当两向量垂直且出现坐标时，一般先求出(或设出)两向量的坐标，使用“a⊥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0”解题. 【训练1】 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解　由已知得＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(6，k－5)， 当∥时

7、，A，B，C三点共线； 即(4－k)(k－5)＝6×(－7)， 解得k＝－2或11. ∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线. 考点二　向量的垂直问题 【例2】 (2018·扬州中学月考)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°. (1)当k为何值时，ka－b与a－kb垂直？ (2)当k为何值时，|ka－2b|取得最小值？并求出最小值. 解　(1)∵ka－b与a－kb垂直， ∴(ka－b)·(a－kb)＝0. ∴ka2－k2a·b－b·a＋kb2＝0. ∴9k－(k2＋1)×3×2·cos 120°＋4k＝0. ∴3k2＋13k＋3＝0. ∴k＝. (2

8、)∵|ka－2b|2＝k2a2－4ka·b＋4b2＝9k2－4k×3×2·cos 120°＋4×4＝9k2＋12k＋16＝(3k＋2)2＋12， ∴当k＝－时，|ka－2b|取得最小值，最小值是2. 规律方法　两向量垂直问题，未出现坐标时，用“a·b＝0”求解；出现坐标时(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，用“x1x2＋y1y2＝0”求解. 【训练2】 (2018·盐城中学月考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π). (1)求证：a＋b与a－b互相垂直； (2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数). (1

9、)证明　由已知得|a|＝＝1，|b|＝＝1. ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0， ∴a＋b与a－b互相垂直. (2)解　由已知得|a|＝1，|b|＝1，且a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β). ∵ka＋b与a－kb的模相等， ∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，即(ka＋b)2＝(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2， 故k2＋2kcos(α－β)＋1＝1－2kcos(α－β)＋k2，∵k≠0， ∴cos(α－β)＝0，又0<α<β<π， ∴－π<α－β<0， ∴α－β＝－

10、，即β－α＝. 考点三　向量平行、垂直的综合问题 【例3】 (2018·苏、锡、常、镇一模)已知向量a＝，b＝(1， 4cos α)，α∈(0，π). (1)若a⊥b，求tan α的值； (2)若a∥b，求α的值. 解　(1)因为a⊥b，所以sin＋12cos α＝0， 即sin α＋cos α＋12cos α＝0，即sin α＋cos α＝0， 又由题意得cos α≠0，所以tan α＝－. (2)若a∥b，则4cos αsin＝3， 即4cos α＝3， 所以sin 2α＋cos 2α＝2. 所以sin＝1. 因为α∈(0，π)，所以2α＋∈， 所以2α＋＝，即

11、α＝. 规律方法　向量平行、垂直问题，关键是根据平行、垂直的充要条件列出等式再求解，这类问题往往与三角函数进行综合，这类综合问题的解题思路为： (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等. 【训练3】 (2018·南通调研)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝，n＝(cos B，sin B)，且m⊥n. (1)求A－B的值； (2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长.

12、 解　(1)因为m⊥n， 所以m·n＝coscos B＋sinsin B ＝cos＝0. 又A，B∈， 所以A＋－B∈， 所以A＋－B＝，即A－B＝. (2)因为cos B＝，B∈，所以sin B＝. 所以sin A＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝×＋×＝. 由正弦定理得BC＝·AC＝×8＝4＋3. 一、必做题 1.(2018·苏州一模)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x＝________. 解析　由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝5－(x－4)＝9－x＝0⇒x＝9. 答案　9 2.已知向量a＝(1－s

13、in θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ等于________. 解析　由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝1×， 即1－sin2θ＝，∴cos2θ＝. 又θ为锐角，∴cos θ＝，θ＝45°. 答案　45° 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 解析　∵a＝(－1，2)，b＝(m，1)， ∴a＋b＝(m－1，3)，又(a＋b)⊥a， ∴(a＋b)·a＝－(m－1)＋6＝0，解得m＝7. 答案　7 4.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝___

14、_____. 解析　∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b， ∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3. 答案　－3 5.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 解析　因为a∥b，所以＝，解得m＝－6. 答案　－6 6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________. 解析　因为a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－. 答案　－ 7.(2016·山东卷)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4).若a⊥(ta＋b)，则实数t 的值为________. 解析　

15、因为a⊥(ta＋b)，所以a·(ta＋b)＝0，即ta2＋a·b＝0， 又因为a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，所以|a|＝，a·b＝1×6＋(－1)×(－4)＝10，因此可得2t＋10＝0，解得t＝－5. 答案　－5 8.(2018·苏北四市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是________. 解析　＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)， ∴与同方向的单位向量为＝. 答案　 9.(2013·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求证：a⊥b； (2)

16、设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值. (1)证明　由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0， 故a⊥b. (2)解　因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以 由此得cos α＝cos(π－β). 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π， 又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1， 可得sin β＝. ∴sin α＝，而α＞β，所以α＝，β＝. 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

17、c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影. 解　(1)由m·n＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 所以cos A＝－.因为0b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝. 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×， 解得c＝1，c＝－7舍去， 故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×

18、＝. 二、选做题 11.(2018·泰州中学质检)设平面向量a＝(x，4)，b＝(y，－2)，c＝(2，1)(其中x>0，y>0)，若(a－c)⊥(b－c)，则|a＋b|的最小值为________. 解析　由a＝(x，4)，b＝(y，－2)，c＝(2，1)(其中x>0，y>0)及(a－c)⊥(b－c)，可得(x－2)(y－2)－9＝0，即xy－2(x＋y)－5＝0， 因为x>0，y>0，所以≥2(x＋y)＋5， 从而x＋y≥10(当且仅当x＝y时等号成立)， 又a＋b＝(x＋y，2)，x>0，y>0，所以|a＋b|＝≥2， 故|a＋b|的最小值为2. 答案　2 12.(201

19、7·镇江期末)已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n. (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝，且β∈，求角β. 解　(1)由题意得m·n＝2cos α－sin α＝0， ∴2cos α＝sin α， ∴sin2α＋cos2α＝5cos2α＝1， ∴cos2α＝， ∴cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)∵cos2α＝，α∈， ∴cos α＝，sin α＝＝， ∵sin(α－β)＝，且β∈， ∴sin αcos β－cos αsinβ＝cos β－sin β＝， ∴2cos β－sin β＝，∴sin β＝2cos β－， ∴sin2β＋cos2β＝5cos2β－2cos β＋＝1， 解得cos β＝或cos β＝－(舍)， ∵β∈，∴β＝. 9