（渝皖琼）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2

《（渝皖琼）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（渝皖琼）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 5.2　平行关系的性质 学习目标　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线与平面平行的性质 思考1　如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？ 答案　不一定，因为还可能是异面直线． 思考2　如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？ 答案　无数个，a∥b. 梳理　性质定理 文字语言 如果一条直线与一

2、个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 符号语言 a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 知识点二　平面与平面平行的性质 观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？ 答案　是的． 思考2　若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？ 答案　不一定，也可能异面． 思考3　过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？ 答案　平行． 梳理　性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时与

3、第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 知识点三　平行关系的相互转化 1．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．(　×　) 2．若平面α∥平面β，l平面β，m平面α，则l∥m.(　×　) 3．夹在两平行平面的平行线段相等．(　√　) 类型一　线面平行的性质定理的应用 例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 考点　直线与平面平行的性

4、质 题点　利用性质证明平行问题 证明　连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊈平面BDM，OM平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. 引申探究 如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH. 求证：AB∥GH. 证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， 所以EF∥AB，DC∥AB. 所以EF∥DC. 又EF⊈平面PCD，DC

5、平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 又EF平面EFQ， 平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH. 反思与感悟　线∥面线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键． 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度为________． 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质求线段长度 答案　 解析　∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF平面ADC，

6、 ∴EF∥AC，∵E是AD的中点， ∴EF＝AC＝×2＝. 类型二　面面平行的性质定理的应用 例2　如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长． 考点　平面与平面平行的性质 题点　利用性质求线段长 解　设AB，CD都在平面γ上， 因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以＝， 即＝， 所以SC＝272. 引申探究 若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长． 解　设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β

7、＝BD. 因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS，所以＝. 设CS＝x，则＝，所以x＝16， 即CS＝16. 反思与感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 跟踪训练2　已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如图所示，求证：＝. 考点　平面与平面平行的性质 题点　与面面平行性质有关的计算 证明　如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF. 因为α∥β，β∥γ，所以BG∥

8、AD，GE∥CF. 于是，得＝，＝，所以＝. 类型三　平行关系的综合应用 命题角度1　由面面平行证明线面平行 例3　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β. 考点　平行问题的综合应用 题点　线线、线面、面面平行的相互转化 证明　如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E， 连接DE，BE. ∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. 又α∥β，∴AC∥DE， 取AE的中点N，连接NP，MN， ∵M，P分别为AB，CD的中点， ∴NP∥DE，MN

9、∥BE. 又NP⊈β，DEβ，MN⊈β，BEβ，∴NP∥β，MN∥β， ∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP平面MNP，MP⊈β，∴MP∥β. 反思与感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示： 跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN. 求证：MN∥平面AA1B1B. 考点　平行问题的综合应用 题点　线线、线面、面面平行的相互转化 证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP， ∵M

10、P∥BB1，∴＝. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN. ∴＝，∴NP∥CD∥AB. ∵NP⊈平面AA1B1B，AB平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊈平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B， 又∵MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B. 命题角度2　探索性问题 例4　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求

11、出截面的面积． 考点　 题点　 解　能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1. ∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC， ∴A1N∥MC. 同理，A1M∥NC. ∴四边形A1MCN是平行四边形． ∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P， ∴四边形A1PC1N是平行四边形， ∴A1N∥PC1且A1N＝PC1. 同理，A1M∥BP且A1M＝BP. 又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P， ∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故过点A1与截面PBC1平行的截面是▱

12、A1MCN. 连接MN，作A1H⊥MN于点H. 由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2. ∴MH＝NH＝，∴A1H＝. 故＝＝2××2×＝2. 反思与感悟　在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面． 跟踪训练4　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质证明平行问题 (1)证明　因为BC∥AD，BC⊈平面PAD， AD平面PAD， 所以BC∥平面PAD.

13、 又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l. (2)解　平行．证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM， 所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE. 又AE平面PAD，MN⊈平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　) A．EF与BC相交 B．EF∥BC C．EF与BC异面 D．以上均有可能 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质判定位置关系 答案　B 解析　∵EF∥平面ABC，而平面SBC∩平面A

14、BC＝BC， EF平面SBC，∴EF∥BC. 2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质判定位置关系 答案　C 解析　过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条． 3．给出四种说法： ①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交； ③若平面α∥平面β，

15、P∈α，PQ∥β，则PQα； ④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 其中正确说法的序号是________． 考点　平行问题的综合应用 题点　线线、线面、面面平行的相互转化 答案　①②③ 解析　①正确，因为平面α与γ没有公共点； ②正确，若直线a与平面β平行或直线aβ，则由平面α∥平面β， 知aα或a与α无公共点， 这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交． ③正确，如图所示， 过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b， 由α∥β得a∥b， 因为PQ∥β，PQγ.所以PQ∥b， 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a

16、与直线PQ重合，因为aα，所以PQα； ④错误，若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能． 4.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______. 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质求线段长度 答案　 解析　由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF. 因为a∥平面α，a平面β，所以EF∥a. 所以＝. 所以EF＝＝＝. 5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平

17、面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明． 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质证明平行问题 解　直线l∥平面PAC. 证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以EF∥AC. 又EF⊈平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因为l⊈平面PAC，EF平面PAC， 所以l∥平面PAC. 1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图 2．证明线与线、线与面的平行关系的一般

18、规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段. 一、选择题 1.如图所示的三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 考点　平面与平面平行的性质 题点　利用性质证明平行问题 答案　B 解析　由面面平行的性质定理，可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，所以DE∥AB. 2．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.

19、若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 考点　平面与平面平行的性质 题点　与面面平行性质有关的计算 答案　B 解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC，A′C′∥AC，从而易得△A′B′C′∽△ABC，且＝＝， ∴S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝. 3．如图，在四面体A－BCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的是(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线

20、PM与BD所成的角为45° 考点　 题点　 答案　C 解析　∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A，B，D正确． 4．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列说法中，正确的个数为(　　) ①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒α∥β. A．1 B．2 C．3 D．4 考点　平行的综合应用 题点　线线、线面、面

21、面平行的相互转化 答案　B 解析　只有①④正确． 5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　) A．不共面 B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．不论A，B如何移动，都共面 考点　平面与平面平行的性质 题点　利用性质判定位置关系 答案　D 解析　如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE

22、∥AA′， 又CE⊈平面α，AA′平面α，∴CE∥平面α. 又C′E∥BB′，C′E⃘平面β，BB′平面β， ∴C′E∥平面β. 又∵平面α∥平面β，C′E⊈平面α， ∴C′E∥平面α. ∵C′E∩CE＝E，C′E，CE平面CC′E， ∴平面CC′E∥平面α， ∴CC′∥平面α. ∴不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与平面α，β平行的平面上． 6．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若

23、α∥β，m∥α，n∥m，n⃘β，则n∥β 考点　平行的综合应用 题点　线线、线面、面面平行的相互转化 答案　D 解析　A选项不正确，n可能在平面α内，B选项不正确，平面α可能与平面β相交；C选项不正确，n可能在平面β内；选项D正确． 7．如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．2＋2 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质求线段长度 答案　C 解析　∵CD∥AB，CD⊈平面SAB，AB平面SAB， ∴CD∥平面SAB. 又

24、平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF， 又CD∥AB，∴AB∥EF. ∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线， ∴EF＝AB＝1，又DE＝CF＝， ∴四边形DEFC的周长为3＋2. 8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　) A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 考点　 题点　 答案　D 解析　∵l⊈α，∴l∥α或l与α相交． ①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…， ∴a，b，c，…，这些交线都平行． ②若l

25、与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A. 综上可知D正确． 二、填空题 9．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是________． 考点　平面与平面平行的性质 题点　与面面平行性质有关的计算 答案　1或7 解析　β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离是7；当β与γ位于α同侧时，β与γ间的距离是1. 10．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平

26、面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. 考点　直线与平面平行的性质 题点　利用性质求线段长度 答案　a 解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝， 故PQ＝＝DP＝. 11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________. 考点　直线与平面平行的性质 题点　与性质有关的其他问题 答案　m∶n 解析　∵AC∥平面EFGH， ∴EF∥AC，GH∥AC， ∴E

27、F＝HG＝m· ， 同理EH＝FG＝n· . ∵四边形EFGH是菱形， ∴m· ＝n· ， ∴AE∶EB＝m∶n. 12．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________． 考点　平面与平面平行的性质 题点　利用性质求线段长 答案　或24 解析　如图①所示，∵AC∩BD＝P， ∴经过直线AC与BD可确定平面PCD. ∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， ∴AB∥CD. ∴＝，即＝，∴BD＝. 如图②所示，同理可证AB∥CD

28、，∴＝， 即＝，∴BD＝24. 综上所述，BD的长为或24. 三、解答题 13．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F. 求证：四边形BCFE是梯形． 考点　平行公理 题点　判断、证明线线平行 证明　因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD，因为AD平面PAD，BC⃘平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC平面BCFE， 所以BC∥EF. 因为AD＝BC，AD≠EF， 所以BC≠EF， 所以四边形BCFE是梯形． 四、探究与拓展 14．在空间四

29、边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是(　　) A．E，F，G，H一定是各边的中点 B．G，H一定是CD，DA的中点 C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC 考点　直线与平面平行的性质 题点　与性质有关的其他问题 答案　D 解析　由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC. 15．如图所示，四边形EFGH为四面体A－BCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH； (2)若AB⊥CD，求证：四边形EFGH为矩形． 考点　直线与平面平行的性质 题点　与性质有关的其他问题 证明　(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG平面ABD，EF⊈平面ABD， ∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB. 又EF平面EFGH，AB⊈平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. (2)由(1)同理可证CD∥EH， ∴∠FEH即是AB与CD所成的角． ∵AB⊥CD，∴∠FEH＝90°， ∴平行四边形EFGH为矩形． 20