2022年高中数学 第一章 空间几何体综合检测题 新人教A版必修2

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1、2022年高中数学 第一章 空间几何体综合检测题 新人教A版必修2 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．(xx·全国高考卷Ⅰ) 某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是(　　) A．三棱锥　　　　　 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 [答案]　B 2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为(　　) A．6 B．3 C．6 D．12 [答案]　D [解析]　△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝×6×4＝12. 3．

2、已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．30 B．60 C．30＋135 D．135 [答案]　A [解析]　由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为＝，则这个菱柱的侧面积为4××5＝30. 4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(　　) A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3 [答案]　A [解析]　依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为，高为R，所以圆锥的体积为×π×()2×R＝πR3. 5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则

3、V1V2＝(　　) A．13 B．11 C．21 D．31 [答案]　D [解析]　V1V2＝(Sh)(Sh)＝31. 6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．π B．π C．π D．π [答案]　B [解析]　设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O1，O，易知球心是线段O1O的中点，于是R2＝()2＋(×2×)2＝，因此所求球的表面积是4πR2＝4π×＝，选B． 7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是(

4、　　) A．8π B．6π C．4π D．π [答案]　C [解析]　设正方体的棱长为a，则a3＝8，所以a＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S表＝4πr2＝4π. 8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为(　　) A．1 B． C． D． [答案]　C [解析]　该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P－ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，PA⊥AB，PA⊥AD，四边形ABCD为正方形，则V＝×12×1＝，故选C． 9．(xx·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内

5、角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 [答案]　B [解析]　设圆锥底面半径为r，则×2×3r＝8，∴r＝，所以米堆的体积为××3×()2×5＝，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B． 9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7

6、B．6 C．5 D．3 [答案]　A [解析]　设上，下底面半径为r，R.则2πR＝3×2πr，所以R＝3r.又π(r1＋r2)l＝S侧，所以S侧＝π(3r＋r)×3＝84π，所以r＝7. 10．正三棱柱有一个半径为 cm的内切球，则此棱柱的体积是(　　) A．9 cm3 B．54 cm3 C．27 cm3 D．18 cm3 [答案]　B [解析]　由题意知棱柱的高为2 cm，底面正三角形的内切圆的半径为 cm，∴底面正三角形的边长为6 cm，正三棱柱的底面面积为9 cm2，∴此三棱柱的体积V＝9×2＝54(cm3)． 11．(xx·课标全国Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格

7、的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示． 切削掉部分的体积V1＝π×32×6－π×22×4－π×32×2＝20π(cm3)， 原来毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)． 故所求比值为＝＝. 12．(xx·全国Ⅰ·理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球

8、面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 [答案]　A [解析]　设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R－2，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5.∴球的体积为＝ cm3. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，三视图完全一样的是__________ ________. [答案]　②④ 14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如

9、果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________ ________. [答案]　 15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________ ________. [答案]　11 [解析]　设棱台的高为x，则有()2＝，解之，得x＝11. 16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________ ________. [答案]　36＋128π [解析]　由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为V＝×3×4×6＋16π×8＝36＋128π.

10、三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长为10 cm.求圆锥的母线长． [解析]　如图，设圆锥母线长为l，则＝，所以l＝cm. 18．(本小题满分12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体？ (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积． [解析]　(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图如图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图

11、正六边形对边的距离，即BC＝a，AD是正六棱锥的高，即AD＝a，所以该平面图形的面积为·a·a＝a2. (3)设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V， 则S＝6×a2＝a2， 所以V＝×a2×a＝a3. 19．(本小题满分12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由． [解析]　因为V半球＝×πR3＝××π×43≈134(cm3)， V圆锥＝πr2h＝π×42×12≈201(cm3)， 134<201， 所以V半球

12、常德上学期期末) 已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积． [解析]　由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π()2×1＝. 21．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为 m，制造这个塔顶需要多少铁板？ [解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP. 在Rt△SOP中，SO＝(m)，OP＝BC＝1(m)， 所以SP＝2(m)， 则△SAB

13、的面积是×2×2＝2(m2)． 所以四棱锥的侧面积是4×2＝8(m2)， 即制造这个塔顶需要8m2铁板． 22．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A′－BC′D的体积． [解析]　(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体， ∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a， ∴三棱锥A′－BC′D的表面积为 4××a××a＝2a2. 而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为＝. (2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的． 故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD ＝a3－4××a2×a＝.