（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B版必修2

《（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B版必修2（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 1.1.7　柱、锥、台和球的体积 学习目标　1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式． 知识点一　祖暅原理 思考　取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？ 答案　体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． 梳理　祖暅原理的含义及应用 (1)内容：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面

2、的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． (3)应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 知识点二　柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积(V) 柱体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥体 棱锥 V＝Sh 圆锥 V＝πr2h 台体 棱台 V＝h(S＋ ＋S′) 圆台 V＝πh(r2＋rr′＋r′2) 球 V＝πR3 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径． 1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(　×　) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　√　) 3．两

3、个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(　×　) 类型一　柱体、锥体、台体的体积 例1　(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________． 答案　 解析　三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. (2)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． 解　设AB＝a，AD＝b，AA′＝c， ∴VC－A′D′D＝CD·

4、S△A′D′D＝a·bc＝abc， ∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc， ∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 反思与感悟　(1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解． ②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 跟踪训练1　已知一个三棱台上、下底面分

5、别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解　如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高． 所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(cm)，O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱台的高

6、h＝O′O＝ ＝ ＝4(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋)＝×＝1 900(cm3)． 类型二　球的体积 例2　(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　A 解析　作出该球轴的截面如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝ (cm3)．

7、 (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________． 答案　a3 解析　长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为＝a， 得球的半径为a，V＝π3＝a3. 反思与感悟　(1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等． 跟踪训练2　(1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　　) A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 答案　B

8、解析　设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示． 在Rt△OO1A中，O1A＝ cm， OO1＝2 cm， ∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)， ∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)． (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 答案　B 解析　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R满足R2＝OA2＝2＋2＝a2，故S球

9、＝4πR2＝πa2. 类型三　几何体体积的求法 命题角度1　等体积法 例3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________． 答案　 解析　 ＝××1×1×1＝. 反思与感悟　(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积． (2)利用等体积法可求点到平面的距离． 跟踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d. 解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a， A1B＝BD＝A1D＝a， ∴×

10、a2·a＝××a×·a·d， ∴d＝a. 命题角度2　割补法 例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积． 解　如图，连接EB，EC. 四棱锥E－ABCD的体积 V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF， ∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC ＝×V四棱锥E－ABCD＝4. ∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20. 反

11、思与感悟　当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． 跟踪训练4　如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积． 解　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　V＝Sh

12、＝××3＝. 2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考点　柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点　与球有关的体积、表面积问题 答案　A 解析　设两球的半径分别为R，r(R＞r)， 则由题意得 　　解得 ∴R－r＝1. 3．现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降(　　) A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm

13、答案　A 解析　设杯里的水下降h cm，由题意知π2h＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm. 4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　) A. B. C．64π D．128π 答案　A 解析　设圆锥的母线为l，底面半径为r. 由题意知，l＝r，① S侧＝πrl＝16π，② 由①②可得r＝4，l＝4， V圆锥＝πr2h＝r2＝π. 5．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为________． 答案　 解析　依题意得正六棱锥的高为＝2， 所以V＝Sh＝×6××2＝. 1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件

14、找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面． 2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题． 一、选择题 1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 答案　B 解析　设圆柱母线长为l，底面半径为r， 由题意得解得 ∴V圆柱＝πr2

15、l＝2π. 2.如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的(　　) A. B. C. D．不确定 答案　B 解析　由于四棱锥S－ABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的，故选B. 3.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 答案　C 解析　设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得 3×πr3＋πr2×6＝

16、πr2×6r，解得r＝3. 4.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)．若其表面积为(448＋32)cm2，则其体积为(　　) A．512＋128 cm3 B．216＋128 cm3 C．512＋64 cm3 D．216＋64 cm3 答案　A 解析　设正方体的棱长为a cm，则5a2＋2a2＋a2×2＝448＋32，解得a＝8(cm)． ∴该几何体的体积为a3＋a2·a＝512＋128(cm3)． 5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，此球是正方体的内

17、切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，半径为1，其体积是×π×13＝. 6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为(　　) A．(2＋4) cm2 B．(4＋8) cm2 C．(8＋16) cm2 D．(16＋32) cm2 答案　C 解析　∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为2，∴正四棱柱的高为＝2，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2

18、＝8＋16，故选C. 7.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.π B.π C.π D．2π 答案　C 解析　由题意，知旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)， 该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π. 8．长方体共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为(　　) A．9π B．8π C．4π D．5π 答案　A 解析　设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c， 则解得 ∴外接球半径为＝， ∴外接球表面积

19、为4π×2＝9π. 二、填空题 9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________． 考点　柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点　若干个几何体的体积、表面积关系 答案　3∶1∶2 解析　设球的半径为R，则 V柱＝πR2·2R＝2πR3， V锥＝πR2·2R＝πR3， V球＝πR3， 故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为________ cm3. 答案　 解析　∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm

20、，半径为 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V＝·π·12·1＝. 11．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________． 答案　 解析　设三棱柱的高为h， ∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴S△ADE＝S△ABC， ∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h， ∴＝＝. 三、解答题 12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面

21、是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h， 从而容器内水的体积是V′＝π·2·h＝πh3， 由V＝V′，得h＝r. 即容器中水的深度为r. 13.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部

22、分的体积之比． 解　已知长方体是直四棱柱， 设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h， 则它的体积为V＝Sh. 而棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h， 故三棱锥C－A1DD1的体积＝×Sh＝Sh，余下部分体积为Sh－Sh＝Sh. 故棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 四、探究与拓展 14．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是________． 答案　 解析　∵VC－A′B′C′ ＝VABC－A′B′C′＝， ∴VC－AA′B′B＝1－＝. 15．一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ 解　如图所示，设圆锥形杯子的高为h cm， 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子， 则必须V圆锥≥V半球， 而V半球＝×πr3＝××43， V圆锥＝Sh＝πr2h＝×42×h. 依题意：×42×h≥××43， 解得h≥8， 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S圆锥侧＝πrl＝πr， 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小， 所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料． 14