（渝皖琼）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案 北师大版必修2

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1、 7．2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 学习目标　1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧． 知识点一　柱、锥、台体的体积公式 几何体 体积公式 柱体 圆柱、 棱柱 V柱体＝Sh S—柱体底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、 棱锥 V锥体＝Sh S—锥体底面积，h—锥体的高 台体 圆台、 棱台 V台体＝(S上＋S下＋)h S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高 知识点二　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. 1．锥体的体积

2、等于底面面积与高之积．(　×　) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　√　) 类型一　多面体的体积 例1　如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：PQ⊥平面DCQ； (2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值． (1)证明　由题知四边形PDAQ为直角梯形． 因为QA⊥平面ABCD，QA平面PDAQ， 所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD， 则PQ⊥QD

3、. 又DC∩QD＝D，DC，QD平面DCQ， 所以PQ⊥平面DCQ. (2)解　设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高， 所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3. 由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高． 而PQ＝a，△DCQ的面积为a2， 所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3. 故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1. 反思与感悟　求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解． (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三

4、棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练1　如图，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么＝________. 答案　7∶5 解析　设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh. 因为E，F分别为AB，AC的中点，所以＝S， ＝h＝Sh， ＝Sh－＝Sh，故. 类型二　旋转体的体积 例2　体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积． 解　由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶2

5、6， ∴小圆锥的体积为2 cm3， 故原来圆锥的体积为54 cm3. 反思与感悟　要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键． 跟踪训练2　设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________． 考点　 题点　 答案　

6、21π 解析　设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l. 作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°， 又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°， ∴AD＝＝， ∴R－r＝. BD＝A1D·tan 60°＝3， ∴R＋r＝3.∴ R＝2，r＝，而h＝3. ∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π. ∴圆台的体积为21π. 类型三　几何体体积的求法 命题角度1　等体积法 例3　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积． 考点　柱

7、体、锥体、台体的体积 题点　锥体的体积 解　 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， 反思与感悟　(1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理． (2)利用等体积法可求点到面的距离． 跟踪训练3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d. 考点　 题点　 解　在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝. ∵××12×1＝×××××d， ∴d＝. 命题角度2　割补法 例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，

8、EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积． 考点　 题点　 解　如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×42×3＝16. 因为AB＝2EF，EF∥AB， 所以S△EAB＝2S△BEF. 所以VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC ＝×VE－ABCD＝4. 所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20. 反思与感悟　通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都

9、需要灵活的选择． 跟踪训练4　如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积． 考点　 题点　 解　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 考点　柱体、锥体、台体的体积 题点　锥体的体积 答案　D 解析　V＝Sh＝××3＝. 2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π

10、，则圆锥的体积是(　　) A. B. C．64π D．128π 考点　柱体、锥体、台体的体积 题点　锥体的体积 答案　B 解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 由题意知2r＝，即l＝r， ∴S侧＝πrl＝πr2＝16π， 解得r＝4. ∴l＝4，圆锥的高h＝＝4， ∴圆锥的体积为V＝Sh＝π×42×4＝. 3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　　) A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18 考点　 题点　 答案　B 解析　V＝(2＋4＋)×3＝6＋2. 4．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6

11、π，则这个圆台的体积是________． 考点　柱体、锥体、台体的体积 题点　台体的体积 答案　 解析　设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π. ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π. ∴l＝2，∴h＝， ∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝. 5．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm. 考点　 题点　 答案　0.6 解析　将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体

12、积． 设水面下降的高度为x cm，则π×2x＝π×2×20， 得x＝0.6 cm. 1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V柱体＝Sh V台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh. 2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求． 3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 一、选择题 1.如图，ABC－A′B′C′是

13、体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　) A. B. C. D. 考点　 题点　 答案　C 解析　∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′， ∴VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′＝. 2.如图，已知正三棱锥S－ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S－BCED与三棱锥S－ABC的体积之比为(　　) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．4∶3 答案　C 解析　两锥体高相等，因此V四棱锥S－BCED∶V三棱锥S－ABC＝S四边形BCED∶S△ABC＝3∶4. 3．已知圆锥的母线长为8，底

14、面圆的周长为6π，则它的体积是(　　) A．9π B．9 C．3π D．3 考点　 题点　 答案　C 解析　设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3. ∴h＝＝， ∴V＝π·r2·h＝3π. 4.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.π B.π C.π D．2π 考点　组合几何体的表面积与体积 题点　柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积 答案　A 解析　由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，

15、 该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π. 5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C. D. 考点　 题点　 答案　A 解析　如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2. 6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　三棱锥D1－ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝. 7．

16、将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．3 cm 考点　柱体、锥体、台体的体积 题点　锥体的体积 答案　B 解析　设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知 πr2×r＝π22×6， 得r＝2， ∴水面的高度是×2＝6 cm. 8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　) A．1 B. C．3 D. 考点　 题点　 答案　A 解析　在正△

17、ABC中，D为BC中点， 则有AD＝AB＝，＝×2×＝. 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC， AD⊥BC，AD平面ABC， ∴AD⊥平面BB1C1C， 即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高． ∴·AD＝××＝1. 二、填空题 9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________． 考点　 题点　 答案　 解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝. 由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2， 所

18、以＝＝＝. 10.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 考点　 题点　 答案　96 解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96. 11.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为______． 考点　柱体、锥体、台体的表面

19、积与体积 题点　其他求体积、表面积问题 答案　 解析　设三棱柱的高为h， ∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为， ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝S△ABC， ∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h， ∴＝＝. 三、解答题 12．在四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积． 解　如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成． ∵C(2,1)，D(0,3)， ∴圆锥的底面半径r＝2，高h＝2. ∴V圆锥＝πr2h＝π×22×2 ＝π.∵B(1,0)，C(2,1)， ∴圆台

20、的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1. ∴V圆台＝πh′(R2＋R′2＋RR′) ＝π×1×(22＋12＋2×1)＝π， ∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π. 13.如图所示是一个边长为5＋的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，求该圆锥的体积． 考点　 题点　 解　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则依题意有·2πl＝2πr， ∴l＝4r. 又∵AC＝OC＋OA＝r＋r＋l＝(＋5)r，且AC＝×(＋5)， ∴(＋5)r＝(＋5)×， ∴r＝，∴l＝4， ∴h＝＝， ∴V圆锥＝πr2h＝π()2×＝π.故该圆锥的体积为π. 四、探究与拓展 1

21、4．若正三棱台A1B1C1－ABC的两底面边长分别为2,8，侧棱长等于6，则此三棱台的体积V＝________. 答案　42 解析　如图，设D1，D分别为A1B1，AB的中点，O1，O为上、下两底面的中心，则O1O为棱台的高h，O1C1＝，OC＝， 作C1H⊥OC于点H，则C1H＝h，且CH＝2，故h＝C1H＝＝2. ∵＝，S△ABC＝16， ∴V＝＝42. 15.在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比是多少？ 考点　 题点　 解　设棱台的高为h， S△ABC＝S，则 ∴＝S△ABC·h＝Sh， 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴＝V台－ ＝Sh－Sh－Sh＝Sh. ∴∶∶＝1∶2∶4. 15