2022届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 简单的三角恒等变换课时作业

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1、2022届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 简单的三角恒等变换课时作业 1．已知cos(－2θ)＝－，则sin(＋θ)的值等于(　　) A.　　 B．±　　　 C．－　　　 D. 解析：因为cos(－2θ)＝cos(2θ－)＝－cos(2θ－＋π)＝－cos[2(θ＋)]＝－，即cos[2(θ＋)]＝，所以sin2(θ＋)＝＝，所以sin(θ＋)＝±，故选B. 答案：B 2．(2018·开封模拟)设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝ ，则(　　) A．c

2、6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝tan 26°，c＝sin 25°，∴a

3、，] C．2π，[－，] D．π，[－，] 解析：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin(2x－)＋1，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在[，]上单调递减，故选B. 答案：B 5．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为(　　) A.　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝时，函数取最大值，故ymax＝. 答案：C 6．已知2cos

4、2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝_______，b＝_______. 解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1. 答案：　1 7．化简：＝________. 解析：＝＝＝4sin α. 答案：4sin α 8．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小值是__________． 解析：f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＝＋sin 2x＝sin＋，当sin＝－1时，f(x)min＝. 答案： 9．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)

5、cos(2x＋θ)为奇函数，且f()＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值； (2)若f()＝－，α∈(，π)，求sin(α＋)的值． 解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)， 由f()＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝－sin 4x， 因为f()＝－sin α＝－，即sin α＝， 又α∈(，π)，从而cos α＝－， 所以sin(α＋)＝sin α

6、cos ＋cos αsin ＝. 10．已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b＋. (1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域． 解析：(1)因为f(x)＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期为π，令sin＝0， 得2x－＝kπ，∴x＝π＋，k∈Z， 故所求对称中心的坐标为(k∈Z)． (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－≤sin≤1，故f(x)的值域为.

7、B组——能力提升练 1．(2018·石家庄质检)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于(，0)对称，则函数f(x)在[－，]上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 解析：f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，则由题意，知f()＝2sin(π＋θ＋)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在[－，]上是减函数，所以函数f(x)在[－，]上的最小值为f()＝－2sin＝－，故选B. 答案：B 2．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　)

8、 A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 解析： f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，f(－x)＝(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D. 答案：D 3．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　) A．[－，1] B．[－1，] C．[－1,1] D．[1，] 解析：∵sin αcos β－cos α

9、sin β＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝， ∴⇒≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝sin α＋cos α＝sin. ∵≤α≤π，∴≤α＋≤π， ∴－1≤sin≤1， 即取值范围是[－1,1]，故选C. 答案：C 4．已知＝k,0<θ<，则sin的值为(　　) A．随着k的增大而增大 B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小 C．随着k的增大而减小 D．是与k无关的常数 解析：＝＝2sin θcos θ＝sin 2θ，∵0<θ<，∴0

10、sin 2θ∈(0,1)，(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ，sin θ－cos θ＝－＝－，故sin＝(sin θ－cos θ)＝－，其值随着k的增大而增大，故选A. 答案：A 5．函数f(x)＝4cos x·sin－1(x∈R)的最大值为__________． 解析：∵f(x)＝4cos xsin－1 ＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， ∴f(x)max＝2. 答案：2 6．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1 的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的

11、距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝__________. 解析：f(x)＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知＝2，得T＝4＝，∴ω＝，由f(x)的最大值为3，得A＝2.又f(x)的图象过点(0,2)，∴cos 2φ＝0， ∴2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝cos＋2＝－sin＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032. 答案：4 032 7．已知函数f(x)＝sin(3x＋)． (

12、1)求f(x)的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cos α－sin α的值． 解析：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z. (2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sin αcos ＋cos αsin ＝(cos αcos －sin αsin )·(cos2α－sin2α)， 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋

13、cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－. 当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝. 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此时cos α－sin α＝－. 综上所述，cos α－sin α＝－或－. 8．已知函数f(x)＝sin ωx－sin(ω>0)． (1)若f(x)在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围； (2)若f(x)在上单调，且f(0)＋f＝0，求ω的值． 解析：f(x)＝sin ωx－sin ＝sin. (1)由x∈[0，π]⇒ωx－∈，又f(x)在[0，π]上的值域为，即最小值为，最大值为1，则由正弦函数的图象可知≤ωπ－≤，得≤ω≤. ∴ω的取值范围是. (2)因为f(x)在上单调，所以≥－0，则≥，即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3， 由f(0)＋f＝0且f(x)在上单调，得是f(x)图象的对称中心， ∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z， 又0<ω≤3，所以ω＝2.