2022届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课堂达标9 二次函数与幂函数 文 新人教版

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1、2022届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课堂达标9 二次函数与幂函数 文 新人教版 1．(2018·吉林东北二模)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．f(－2)＞f(1)　　　 B．f(－2)＜f(1) C．f(2)＝f(1) D．f(－2)＞f(－1) [解析]　由于幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)＜f(1)． [答案]　B 2．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z

2、)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　∵y＝xm2－4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，∴m2－4m＜0，即0＜m＜4， 又∵函数的图象关于y轴对称，且m∈Z， ∴m2－4m为偶数，因此m＝2. [答案]　C 3．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　) A．56　　　 B．112 C．0　　　 D．38 [解析]　由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝11

3、2. [答案]　B 4．已知函数f(x)＝x，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)＜f(b)＜f＜f B．f＜f＜f(b)＜f(a) C．f(a)＜f(b)＜f＜f D．f＜f(a)＜f＜f(b) [解析]　因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，又0＜a＜b＜＜，故f(a)＜f(b)＜f＜f. [答案]　C 5．(2018·吉林松原调研)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0 [解析]　∵f(x)的对称轴为x＝－，

4、f(0)＝a＞0， ∴f(x)的大致图象如图所示． 由f(m)＜0，得－1＜m＜0， ∴m＋1＞0， ∴f(m＋1)＞f(0)＞0. [答案]　C 6．(2018·安徽皖北片高三第一次联考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为(　　 ) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 [解析]　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a的对称轴为x＝a，图象开口向下， ①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]是减函数， ∴fmax(x)＝f(0)＝1－a， 由1－a＝2，得a＝－1， ②当0＜a

5、≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]是增函数，在[a,1]上是减函数， ∴fmax(x)＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝， ∵0＜a≤1，∴两个值都不满足； ③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]是增函数， ∴fmax(x)＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2.故选：D. [答案]　D 7．当0＜x＜1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是　________　. [解析]　如图所示为函数f(x)，

6、g(x)， h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)． [答案]　h(x)＞g(x)＞f(x) 8．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是　________　. [解析]　由题意可得 解得－4＜a＜4. [答案]　(－4,4) 9．(2018·长沙模拟)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是______． [解析]　函数f(x)图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由二次函数的图象知m的取值范围为. [答案]　 10．已知函数f(x)＝ax2

7、－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围． [解]　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. 当a＞0时，f(x)在[2,3]上为增函数， 故⇒⇒ 当a＜0时，f(x)在[2,3]上为减函数， 故⇒⇒ (2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4. ∴m≤2或m≥6. 故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．

8、 [B能力提升练] 1．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况为(　　) A．最大值为3，最小值为－1 B．最大值为7－2，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值 [解析]　作出F(x)的图象，如图实线部分．由图象知F(x)有最大值无最小值，且最大值不是3. [答案]　B 2．关于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是(　　) A．－3＜m＜0 B．0＜m＜3 C．m＜－3或m＞0 D．m＜0或m＞3 [解析]　由题意知 由①②

9、③得－3＜m＜0，故选A. [答案]　A 3．若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　________　. [解析]　f(x)＝ x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝2＋a－，x∈(－∞，1)时， f(x)＝x2＋ax－a＝2－a－. ①当＞1，即a＞2时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增，不合题意； ②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意； ③当＜0，即a＜0时，不符合题意， 综上，a的取值范围是[0,2]． [答案]　[0,2] 4．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)

10、－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是　________　. [解析]　由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同 的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点． [答案]　 5．已知函数

11、f(x)＝ax2－2x＋1. (1)试讨论函数f(x)的单调性． (2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式． (3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥. [解]　(1)当a＝0时， 函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a＞0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向上， 对称轴为x＝，所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数； 当a＜0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向下，对称轴为x＝，所以函数f(x)在上为增函数，在上为减函数． (2)因为f(x)＝a2＋

12、1－， 由≤a≤1得1≤≤3， 所以N(a)＝f＝1－. 当1≤＜2，即＜a≤1时， M(a)＝f(3)＝9a－5， 故g(a)＝9a＋－6； 当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)＝f(1)＝a－1， 故g(a)＝a＋－2. 所以g(a)＝ (3)证明：当a∈时g′(a)＝1－<0， 所以函数g(x)在上为减函数； 当a∈时，g′(a)＝9－＞0， 所以函数g(a)在上为增函数， 所以当a＝时，g(a)取最小值， g(a)min＝g＝.故g(a)≥. [C尖子生专练] (2018·浙江瑞安四校联考)已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|. (1)若当x

13、∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (2)求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[0,2]上的最大值． [解]　(1)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立， 即x2－1≥a|x－1|(*)对x∈R恒成立． ①当x＝1时，(*)显然成立，此时a∈R； ②当x≠1时，(*)可变形为a≤， 令φ(x)＝＝ 因为当x＞1时，φ(x)＞2，当x＜1时，φ(x)＞－2， 所以φ(x)＞－2，故此时a≤－2. 综合①②，得所求实数a的取值范围是(－∞，－2]． (2)h(x)＝ ①当－≤0时，即a≥0， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋

14、1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此时，h(x)max＝a＋3. ②当0＜－≤1时， 即－2≤a＜0，(－x2－ax＋a＋1)max ＝h＝＋a＋1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此时h(x)max＝a＋3. ③当1＜－≤2时，即－4≤a＜－2， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)， h(2)}＝max{0,3＋a}＝ 此时h(x)max＝ ④当－＞2时，即a＜－4， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0. 此时h(x)max＝0. 综上：h(x)max＝