2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课堂达标2 命题及其关系、充分条件与必要条件 文 新人教版

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1、2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课堂达标2 命题及其关系、充分条件与必要条件 文 新人教版 1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　) A．逆命题　　　　　　　 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 [解析]　命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题． [答案]　B 2．(2016·天津卷)设x＞0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既

2、不充分也不必要条件 [解析]　若x>|y|，则x>y或x>－y，若x>y，当y>0时，x>|y|，当y<0时，不能确定x>|y|.故选C. [答案]　C 3．(2018·河北保定二模)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A．m> B．00 D．m>1 [解析]　由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m<0，即m>.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m>0，故选C. [答案]　C 4．(2018·北京市朝阳区二模)“x＞0，y＞0”是“＋≥2”的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．

3、充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　“x＞0，y＞0”⇔“＋≥2”，反之不成立，例如取x＝y＝－1.∴x＞0，y＞0”是“＋≥2”的充分而不必要条件．故选：A. [答案]　A 5．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是(　　) A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac” B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac” C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列” D．“若b2≠ac”，则a，b，c不成等比数列 [解析]　根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不

4、成等比数列”． [答案]　D 6．(2018·安徽合肥一模) 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]　如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p⇒q，但q⇒p不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在

5、平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p是q的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 7．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：______. [解析]　原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°， 结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”． [答案]　“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角” 8．(2018·湖南常德一中月考)若“x2－2x－3＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为　________　. [解析]　由x2－2x－3>0，解得x

6、<－1或x>3. 因为“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－1或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. [答案]　3 9．有三个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题； ③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题． 其中真命题的序号为　________　. [解析]　命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x＞－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题

7、③是假命题．综上知只有命题①是真命题． [答案]　① 10．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围． [解]　y＝x2－x＋1＝2＋， ∵x∈，∴≤y≤2，∴A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件， ∴A⊆B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－， 故实数m的取值范围是∪. [B能力提升练] 1．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)＝g(x)是偶函数；q：函数g(x)是奇函数，则p是q的(

8、　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]　由函数f(x)＝g(x)是偶函数可得：f(－x)＝f(x)⇒g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，充分条件成立，当函数g(x)是奇函数时，有g(－x)＝－g(x)，又g(x)＝，可得函数f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，即必要条件也成立，所以p是q的充要条件． [答案]　C 2．(2018·长春市质监二)已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则

9、綈p成立是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由p成立，则a≤1，由q成立，则a>1，所以綈p成立时a>1是q的充要条件．故选C. [答案]　C 3．下列四个结论中： ①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件． 其中正确的是　________　. [解析]　由λ＝0可以推出λa＝0

10、，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由|AB|2＋|AC|2＝|BC|2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确； 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零， 反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0， 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确． [答案]　①④ 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的　________　条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要

11、”“既不充分也不必要”) [解析]　若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数， 又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数． 当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立． 反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数， 此时x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)， 则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数． ∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立． 故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”

12、的充要条件． [答案]　充要 5．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}． (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围． (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． [解]　A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}， B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}． (1)当a＝0时，B＝∅，不合题意． 当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意， 则解得≤a≤2. 当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，要满足题意， 则无解．综上，a的取值范围为. (2)要满足A∩B＝∅， 当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a} 则a≥

13、4或3a≤2，即0＜a≤或a≥4. 当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}， 则a≤2或a≥，即a＜0. 当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅. 综上，a的取值范围为∪[4，＋∞)． [C尖子生专练] (2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　) A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 [解析]　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B. [答案]　B