2022届高考数学二轮复习 第一篇 专题四 数列 第1讲 等差数列与等比数列限时训练 文

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1、2022届高考数学二轮复习 第一篇 专题四 数列 第1讲 等差数列与等比数列限时训练 文 【选题明细表】 知识点、方法 题号 等差数列、等比数列的基本运算 1,3,4,5,7,8 等差数列、等比数列的性质 2,10 等差数列、等比数列的证明 11,12 等差数列、等比数列的综合 6,9,11,12 一、选择题 1.(2018·吉林省百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25等于(　D　) (A) (B)145 (C) (D)175 解析:由题意可得2a11=a9+a13,所以a13=7, 所以S25=×25=×25=25a

2、13=25×7=175.选D. 2.(2018·湖南省永州市一模)在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,若a3,a5分别为等差数列{bn}的第2项和第6项,则数列{bn}的前7项和为(　B　) (A)49 (B)70 (C)98 (D)140 解析:在等比数列{an}中, 因为a4=a1·q3,即8=1×q3,所以q=2, 所以a3=4,a5=16, 根据题意,等差数列{bn}中, b2=4,b6=16, 因为b6=b2+4d, 所以16=4+4d,所以d=3, 所以b1=1,b7=19, {bn}前7项和S7==70, 故选B. 3.(2018·广东广州市一

3、模)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则{an}前6项的和为(　B　) (A)-20 (B)-18 (C)-16 (D)-14 解析:因为a1,a3,a4成等比数列, 所以=a1·a4, 所以(a1+4)2=a1(a1+6), 所以a1=-8, 所以S6=6×(-8)+×2=-18, 选B. 4.(2018·辽宁大连八中模拟)若记等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S3=6,则S4等于(　C　) (A)10或8 (B)-10 (C)-10或8 (D)-10或-8 解析:由等比数列求和公式,当q≠1时得 S3===6, 所以q2+q-

4、2=0, 所以q=-2或q=1(舍去), 当q=-2时,S4==-10, 当q=1时,S4=4a1=8.故选C. 5.(2018·云南玉溪高三适应性训练)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为(　B　) (A)65斤 (B)184斤 (C)183斤 (D)176斤 解析:由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等

5、差数列,且前8项和为996, 设首项为a1,结合等差数列前n项和公式有 S8=8a1+d=8a1+28×17=996. 解得a1=65,则a8=a1+7d=65+7×17=184(斤). 即第八个孩子分得斤数为184斤.故选B. 6.(2018·安徽江南十校二模)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,=a2+a2 017且=d,则S2 018等于(　B　) (A)0 (B)1 009 (C)2 017 (D)2 018 解析:因为=d, 所以-=d(-), 即=(1+d)-d, 又=a2+a2 017, 所以 所以 所以S2 018==1 009(1+1+2

6、 017d)=1 009.故选B. 7.(2018·百校联盟联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,…,10),且a1

7、},设公差为d,则 解得a1=,d=, 所以该金杖的总重量M=10×+×=15, 因为48aj=5M, 所以48[+(j-1)×]=75, 即39+6j=75,解得j=6. 二、填空题 8.(2018·陕西西工大附中八模)若等比数列{an}的前n项和Sn=3n+a,则a的值为　　　　.  解析:因为Sn=3n+a, 所以a1=S1=3+a, a2=S2-S1=(9+a)-(3+a)=6, a3=S3-S2=(27+a)-(9+a)=18, 因为=, 所以a=-1. 答案:-1 9.(2018·辽宁葫芦岛二模)已知数列{an}的各项均为整数,a8=-2, a13=4

8、,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a15=　　　　.  解析:设公差为d,则a11=a8+3d=-2+3d,a12=a8+4d=-2+4d, 因为第11项,第12项,第13项成等比数列, 所以=a11a13, 所以(-2+4d)2=4(-2+3d), 所以4d2-7d+3=0, 因为d为整数, 所以d=1, 所以a12=-2+4=2,q==2, 所以a15=a13q2=4×22=16. 答案:16 10.(2018·福建厦门二检)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,|an-an-1|=n(n∈N,n≥3),{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递

9、减数列,则a2 018=　　　　.  解析:因为{a2n-1}是递增数列, 所以a2n+1-a2n-1>0, 所以(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0, 因为2n+1>2n, 所以|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|, 所以a2n+1-a2n>0(n≥2), 又a3-a1=5>0, 所以a2n+1-a2n>0(n≥1)成立, 由{a2n}是递减数列, 所以a2n+2-a2n<0,同理可得a2n+2-a2n+1<0(n≥1), 所以 所以a2n+2-a2n=-1, 所以{a2n}是首项为3,公差为-1的等差数列. 故a2 018=3+(1 00

10、9-1)×(-1)=-1 005. 答案:-1 005 三、解答题 11.(2018·安徽马鞍山一检)已知数列{an}的首项为a1=1,且(an+1)·an+1=an,n∈N*. (1)求证:数列是等差数列; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明:an+1=⇒==+1⇒-=1, 故数列是以=1为首项,以1为公差的等差数列. (2)解:由(1)可知,=n,an=, bn= = = =-, Tn=b1+b2+b3+…+bn =(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=1-. 12.(2018·青海西宁二模)已知数列{an}满足a1=2,an=2

11、an-1+2n(n≥2). (1)证明:数列{}为等差数列,并求{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=log2,记数列{}的前n项和为Tn,设角B是 △ABC的内角,若2sin B>Tn对于任意的n∈N*恒成立,求角B的取值 范围. 解:(1)因为an=2an-1+2n,两边同时除以2n,可得=+1, 所以-=1, 又=1, 所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列; 所以=1+(n-1)×1=n, 所以an=n·2n. (2)由(1)知,an=n·2n,则bn=log2=n, 所以==-, 所以Tn=1-+-+-+…+-=1-<1, 又因为2sin B>Tn对于任意n∈N*恒成立, 所以2sin B≥1, 即sin B≥, 又B∈(0,π), 所以≤B≤, 所以B∈[,].