2022届高考数学二轮复习 专题三 立体几何 课后综合提升练 1.3.2 点、直线、平面之间的位置关系 文

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1、2022届高考数学二轮复习 专题三 立体几何 课后综合提升练 1.3.2 点、直线、平面之间的位置关系 文 (40分钟　70分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.给出下列命题: ①在空间中,垂直于同一个平面的两个平面平行; ②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α; ③过一点有且只有一条直线与已知平面垂直; ④a,b是两条异面直线,P为空间中一点,过点P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行. 其中正确命题的个数是 (　　) A.0 　 B.1 C.2　 D.3 【解析】选C.对于①,借助正方体模型可知错误;对于②,若l⊥α

2、,l∥m,则m⊥α,显然②正确;对于③,显然过一点必存在一条直线与已知平面垂直,如果过一点能够作两条直线与已知平面垂直,则根据直线与平面垂直的性质定理可知,这两条直线平行,但根据已知这两条直线相交,所以③正确;对于④,当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面,所以④错误. 2.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题: ①没有水的部分始终呈棱柱形; ②水面EFGH所在四边形的面积为定值; ③棱A1D1始终与水面所在平面平行; ④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.

3、 其中正确命题的个数是 (　　) A.1 　 B.2 C.3 　 D.4 【解析】选C.由题图,显然①是正确的,②是错误的; 对于③,因为A1D1∥BC,BC∥FG, 所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH, 所以A1D1∥平面EFGH(水面). 所以③是正确的; 对于④,因为水是定量的(定体积V), 所以S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V. 所以BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C. 3.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是 (　　) A.

4、相交且垂直　 B.相交但不垂直 C.异面且垂直　 D.异面但不垂直 【解析】选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如题图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,且BD∩CD=D,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为 (　　) A. 　 B. C. 　 D. 【解析】选C.如图,设正方体的棱长为a,取线段AB的中点M,连

5、接CM,MF,EF.则MF∥AE,所以∠CFM即为所求角或所求角的补角.在△CFM中,MF=CM=a,CF=a,根据余弦定理可得cos ∠CFM=,所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为. 5.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,则下列命题中的假命题是 (　　) A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90° B.四边形AECF是正方形 C.点A到平面BCE的距离为 D.该八面体的顶点在同一个球面上 【解析】选C.因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,相邻两条棱所在的直线所成的角是60°,而AE与CE所成的角为90°,A正

6、确;四边形AECF各边长均为1,AC=EF=,所以四边形AECF是正方形,B正确;DB=,该八面体的顶点在同一个球面上,D正确;设A到平面BCE的距离为h,由VE-ABCD=2VA-BCE,得×1×1×=2××h,解得h=,C错误. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.给出下列命题: ①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交; ②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直; ③若a∥b,则必有a∥c; ④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 正确的是__________________.(填序号)  【解析

7、】①中若c与a,b都不相交,则c∥a,c∥b,故a∥b,这与a与b是异面直线矛盾,①正确; ②中若α⊥β,b⊥c,则b⊥α,b⊥a,这与a与c是否垂直无关,②错; ③中若a∥b,则a∥β,又α∩β=c,所以a∥c,③正确; ④中当b∥c时,α与β可能不垂直,④错. 答案:①③ 7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=____________时,CF⊥平面B1DF.  【解析】因为B1D⊥平面A1ACC1, 所以CF⊥B1D, 所以为了使CF⊥平面B1DF,只

8、要使CF⊥DF(或CF⊥B1F), 设AF=x,则有CD2=DF2+FC2, 所以x2-3ax+2a2=0, 所以x=a或x=2a. 答案:a或2a 8.如图所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是____________(填上所有正确的序号).  ①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC; ②不论D折至何位置都有MN⊥AE; ③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB. 【解析】取AE的中点F,连接MF,NF,则MF∥DE,NF∥AB∥CE, 从而平面M

9、FN∥平面DEC, 故MN∥平面DEC,①正确; 又AE⊥MF,AE⊥NF, 所以AE⊥平面MFN, 从而AE⊥MN,②正确; 又MN与AB是异面直线,则③错误. 答案:①② 三、解答题(每小题10分,共30分) 9.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上. (1)求证:AD⊥平面PBE. (2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ. 【解析】(1)由E是AD的中点,PA=PD可得AD⊥PE. 又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°, 所以AB=BD, 又E是AD的中点, 所以AD⊥B

10、E, 又PE∩BE=E, 所以AD⊥平面PBE. (2)连接AC,交BD于点O,连接OQ. 因为O是AC的中点, Q是PC的中点, 所以OQ∥PA, 又PA⊄平面BDQ,OQ⊂平面BDQ, 所以PA∥平面BDQ. 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD. (1)求证:PB=PD. (2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求三棱锥D-ACE的体积. 【解析】(1)因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD且O为BD的中点. 又PA⊥BD,PA∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC, 由于PO⊂平面PAC,故BD⊥P

11、O. 又BO=DO,所以PB=PD. (2)如图,设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,EO, 因为EQ=CD=AF, 所以AFEQ为平行四边形, 所以EF∥AQ, 因为EF⊥平面PCD, 所以AQ⊥平面PCD,所以AQ⊥PD, 又PD的中点为Q, 所以AP=AD=. 由AQ⊥平面PCD,可得AQ⊥CD, 又AD⊥CD,AQ∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥PA, 又BD⊥PA,BD∩CD=D, 所以PA⊥平面ABCD. 故VD-ACE=VE-ACD=×PA×S△ACD =×××××=, 故三棱锥D-ACE的体积为. 11.如图,四边形ABC

12、D为正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1. (1)求证:BC⊥AF. (2)若点M在线段AC上,且满足CM=CA,求证:EM∥平面FBC. 【解析】(1)因为EF∥AB,所以EF与AB确定平面EABF, 因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥BC. 由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A,所以BC⊥平面EABF. 又AF⊂平面EABF,所以BC⊥AF. (2)如图,过点M作MN⊥BC,垂足为点N,连接FN,则MN∥AB. 因为CM=AC, 所以MN=AB. 又EF∥AB且EF=AB, 所以EFMN, 所以四边形EFNM为平行四边形, 所

13、以EM∥FN. 又FN⊂平面FBC,EM⊄平面FBC, 所以EM∥平面FBC. (20分钟　20分) 1.(10分)已知长方形ABCD中,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,直线AB与CD能否垂直?若能,求出相应a的值;若不能,请说明理由. (2)求四面体A-BCD体积的最大值. 【解析】(1)直线AB与CD能够垂直. 因为AB⊥AD, 若AB⊥CD,AD∩CD=D, 则有AB⊥平面ACD, 从而AB⊥AC. 此时,a===, 即当a=时,有AB⊥CD. (2)由于△BCD

14、面积为定值, 所以当点A到平面BCD的距离最大, 即当平面ABD⊥平面BCD时, 该四面体的体积最大, 此时,过点A在平面ABD内作AH⊥BD,垂足为H, 则有AH⊥平面BCD,AH就是该四面体的高. 在△ABD中,AH==, S△BCD=×3×4=6, 此时VA-BCD=S△BCD·AH=, 即为该四面体体积的最大值. 2.(10分)如图1,在高为2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,过A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F.已知DE=1,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,得空间几何体ADE-BCF,如图2. (1)若AF⊥BD,证

15、明:△BDE为直角三角形. (2)在(1)的条件下,若DE∥CF,求三棱锥B-ACD的体积. 【解析】(1)由已知得四边形ABEF是正方形,且边长为2, 如图,取BE与AF的交点为O,则AF⊥BE, 由已知得AF⊥BD,BE∩BD=B,所以AF⊥平面BDE, 又DE⊂平面BDE,所以AF⊥DE, 又AE⊥DE,AE∩AF=A,所以DE⊥平面ABFE, 又BE⊂平面ABFE,所以DE⊥BE, 所以△BDE为直角三角形. (2)如图,取AC中点G,连接OG,DG, 则OGCF,由已知得DECF, 所以OGDE,则四边形DEOG为平行四边形, 所以OE∥GD,即BE∥GD, 又BE⊄平面ACD,GD⊂平面ACD,所以BE∥平面ACD, 故三棱锥B-ACD的体积VB-ACD=VE-ACD, 因为AE⊥DE,AE⊥EF,DE∩EF=E,所以AE⊥平面CDEF,即AE⊥平面CDE, 所以AE为三棱锥A-CDE的高, 所以VE-ACD=VA-CDE=×S△CDE×AE=×S△DEF×AE, 由S△DEF=×DE×EF=×1×2=1, 得VA-CDE=×1×2=, 所以三棱锥B-ACD的体积为.