2022届高考数学二轮复习 专题综合检测练（五）文

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1、2022届高考数学二轮复习 专题综合检测练（五）文 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2018·江西名校学术联盟)已知直线l将圆C:x2+y2-6x+6y+2=0的周长平分,且直线l不经过第三象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围为 (　　) A.90°≤θ≤135° B.90°≤θ≤120° C.60°≤θ≤135° D.90°≤θ≤150° 【解析】选A.依题意,圆C:(x-3)2+(y+3)2=16,易知直线l过圆C的圆心(3,-3);因为直线l不经过第三象限,结合正切函数图象可知,90°≤θ≤135°.

2、 2.(2018·浙江省重点中学联考)双曲线-=1的离心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为a=3,b=2,所以c==,所以离心率是e==. 3.(2018·绍兴一模)如图,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,A为虚轴的一端点.若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B,且=t(t∈R),则该双曲线的离心率为 (　　) A.2 B. C. D. 【解析】选D.由题意b2=ac,所以c2-a2=ac,解得离心率为. 4.(2018·昆明一模)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若∠

3、ACB=120°,则实数m的值为 (　　) A.3+或3- B.3+2或3-2 C.9或-3 D.8或-2 【解析】选A.因为∠ACB=120°,半径为,所以圆心到直线的距离为,所以=,解得m=3+或m=3-. 5.(2018·哈尔滨一模)已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线C右支上一点,直线PF1与圆x2+y2=a2相切,且|PF2|=|F1F2|,则双曲线C的离心率为 (　　) A. B. C. D.2 【解析】选C.因为直线PF1与圆x2+y2=a2相切,|PF2|=|F1F2|,所以|PF1|=4b,

4、 所以|PF1|-|PF2|=4b-2c=2a, 所以2b=c+a, 所以双曲线C的离心率为. 6.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是 (　　) A.k≤-2或k≥2 B.k≤-2 C.k≥2 D.k≤-2或k>2 【解析】选B.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点⇔≤1⇔k≤-2或k≥2,所以“k≤-2”是“圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点”的充分不必要条件. 7.椭圆+=1与双曲线+=1(12

5、选C.对于椭圆+=1,c=2,对于双曲线-=1,=(16-k)+(k-12)=4,所以c1=2. 8.以双曲线-=1(a>0,b>0)中心O(坐标原点)为圆心,焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过点M作x轴的垂线,垂足恰为OF2的中点,则双曲线的离心率为 (　　) A.-1 B. C.+1 D.2 【解析】选C.由题意知点M的坐标为M,代入双曲线方程可得- =1,因为b2=c2-a2,e=, 所以e4-8e2+4=0,所以e2=4+2,所以e=+1. 9.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角

6、形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选D.设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上, 所以O1,又圆面积为36π,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8. 10.(2018·惠州一模)△ABC中,∠B=,A,B分别是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,且|AB|=|BC|,则E的离心率为 (　　) A.-1 B.+1 C. D. 【解析】选D.由|BC|=|BA|=

7、2c,则|CA|2=|BC|2+|BA|2-2|BC|×|BA|×cos∠B =12c2, 2a=|CA|-|CB|=2c-2c, 所以==. 11.在△ABC中,AB=BC,cos B=-.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设|AB|=x>0,则|BC|=x, AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B =x2+x2-2x2·=x2,所以|AC|=x, 由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c, 所以x+x=2a,x=2c,所以e====. 12.已知双曲线-=1的离心率为e=2

8、,右焦点F到其渐近线的距离为.抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点F重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A,B两点,正三角形ABC的顶点C在直线x=-1上,则△ABC的边长是 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 【解析】选C.因为双曲线-=1的离心率e=2,所以=2⇒a=,因为双曲线右焦点F到其渐近线的距离为,所以=⇒b=,故c2-a2=b2=,即c2-= ⇒c=1. 双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F(1,0),所以抛物线的方程为y2=4x,设AB的中点为M,过A,B,M分别作AA1,BB1,MN垂直于直线x=-1于A1,B1,N

9、,设∠AFx=θ,由抛物线定义知:|MN|=(|AA1|+|BB1|)=|AB|,因为|MC|=|AB|, 所以|MN|=|MC|,因为∠CMN=90°-θ, 所以cos∠CMN=cos(90°-θ)==,即sin θ=,又由抛物线定义知|AF|=,|BF|=,所以|AB|==12,即正三角形ABC的边长为12. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2018·赣南四校联考)已知圆Ω过点A(5,1),B(5,3),C(-1,1),则圆Ω的圆心到直线l:x-2y+1=0的距离为____________. 

10、 【解析】依题意,圆Ω的圆心是线段AB与AC垂直平分线的交点,故圆心为(2,2),到直线l:x-2y+1=0的距离d==. 答案: 14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为____________.  【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,所以|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p, 可得y1+y2=p, 联立方程,得-+1=0,由根与系数的关

11、系得y1+y2=p, 所以p=p,则=,=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x. 答案:y=±x 15.已知双曲线C:-=1(b>a>0)的右焦点为F,O为坐标原点,若存在直线过点F交双曲线C的右支于A,B两点,使·=0,则双曲线离心率e的取值范围是____________.  【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线的方程为x=my+c,联立双曲线方程,消去x,得(b2m2-a2)y2+2b2mcy+b4=0,所以y1+y2=-①,y1y2=②.因为·=x1x2+y1y2=0,即m2y1y2+mc(y1+y2)+c2+y1y2=0,代入①②整理,得b4m2-2b2m2c2+c

12、2b2m2-a2c2+b4=0,0≤m2=<.由b4-a2c2≥0,得(c2-a2)2-a2c2≥0,即c4-3a2c2+a4≥0,e4-3e2+1≥0,解得e≥;由<,得b4-a4-a2c2<0,即(c2-a2)2-a4-a2c2<0,c4-3a2c2<0,所以<.综上所述,e∈. 答案:≤e< 16.(2018·泉州一模)椭圆+=1(a>b>0),直线l1:y=-x,直线l2:y=x,P为椭圆 上任意一点,过点P作PM∥l1且与直线l2交于点M,作PN∥l2且与l1交于点N,若 |PM|2+|PN|2为定值,则椭圆的离心率为____________.  【解析】令|PM|2+|P

13、N|2=t(t为常数),设M,N, 由平行四边形知识, 得|PM|2+|PN|2=|OM|2+|ON|2=(+)=t, 设点P(x,y),因为=+ =. 所以⇒x2+4y2=2(+)=t, 此方程即为椭圆方程,即e=. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(12分)过圆C:x2+y2=4上的点M作x轴的垂线,垂足为点N,点P满足=.当M在C上运动时,记点P的轨迹为E. (1)求E的方程. (2)过点Q(0,1)的直线l与E交于A,B两点,与圆C交于S,T两点,求|AB|·|ST|的取值范围. 【解析】(1)设M点

14、坐标(x0,y0),N点坐标(x0,0),P点坐标(x,y), 由=可得 因为点M在圆C:x2+y2=4上运动, 所以点P的轨迹E的方程为+=1. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时|AB|=2,|ST|=4, 所以|AB|·|ST|=8; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组消去y, 整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0, 因为点Q(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆恒交于两点, 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|= =·, =· =, 在圆C

15、:x2+y2=4中,圆心(0,0)到直线l的距离为d=, 所以|ST|=2=2, 所以|AB|·|ST|=8· =8·∈[8,8). 又因为当直线l的斜率不存在时,|AB|·|ST|=8, 所以|AB|·|ST|的取值范围是[8,8). 18.(12分)(2018·湖北省八校联考)如图,圆O:x2+y2=4,A(2,0),B(-2,0),D为圆O上任意一点,过点D作圆O的切线分别交直线x=2和x=-2于E,F两点,连接AF,BE交于点G,若点G形成的轨迹为曲线C. (1)记AF,BE斜率分别为k1,k2,求k1·k2的值并求曲线C的方程. (2)设直线l:y=x+m(m≠0)与

16、曲线C有两个不同的交点P,Q,与直线x=2交于点S,与直线y=-1交于点T,求△OPQ的面积与△OST面积的比值λ的最大值及取得最大值时m的值. 【解析】(1)设D(x0,y0)(y0≠0), 易知过D点的切线方程为x0x+y0y=4,其中+=4, 则E,F, 所以k1·k2=· ===-. 设G(x,y),由k1·k2=-⇒·=-⇒ +y2=1(y≠0), 故曲线C的方程为+y2=1(y≠0). (2)联立⇒5x2+8mx+4m2-4=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=-m,x1·x2=, 由Δ=64m2-20(4m2-4)>0⇒-

17、且m≠0,m≠±2, |PQ|= = =. 因为直线l与直线x=2交于点S,与直线y=-1交于点T, 所以S(2,2+m),T(-m-1,-1), 所以|ST|==(3+m), 所以λ===, 令3+m=t,t∈(3-,3+)且t≠1,3,5, 则λ== =, 当=,即t=,m=-时,λ取得最大值. 19.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x2+y2=上,直线AM与椭圆相交于另一点B,且△AOB的面积是△AOM面积的2倍,求直线AB的方程.

18、 【解析】(1)设椭圆的焦距为2c, 由题意得,=,+=1, 解得a=2,c=,所以b=, 所以椭圆的方程为+=1. (2)方法一:因为S△AOB=2S△AOM, 所以AB=2AM, 所以点M为AB的中点, 因为椭圆的方程为+=1, 所以A(-2,0). 设M(x0,y0),则B(2x0+2,2y0). 所以+=　①, +=1　②, 由①②得9-18x0-16=0, 解得x0=-,x0=(舍去). 把x0=-代入①,得y0=±, 所以kAB=±, 因此,直线AB的方程为y=±(x+2), 即x+2y+2=0或x-2y+2=0. 方法二:因为S△AOB=2S

19、△AOM,所以AB=2AM,所以点M为AB的中点, 设直线AB的方程为y=k(x+2). 由得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0, 所以(x+2)[(1+2k2)x+4k2-2]=0, 解得xB=. 所以xM==, yM=k(xM+2)=, 代入x2+y2=得+=, 化简得28k4+k2-2=0, 即(7k2+2)(4k2-1)=0,解得k=±, 所以,直线AB的方程为y=±(x+2), 即x+2y+2=0或x-2y+2=0. 20.(12分)(2018·郑州一模)已知抛物线C的方程为x2=4y,F为其焦点,过抛物线外一点P作此抛物线的切线PA,PB,A,B为

20、切点.且PA⊥PB. (1)求证:直线AB过定点. (2)直线PF与曲线C的一个交点为R,求·的最小值. 【解析】(1)设直线AB的方程为y=kx+b,设A(x1,y1), B(x2,y2),两条切线的斜率分别为k1,k2, 以A,B为切点的切线方程分别为x1x=2y+2y1,x2x=2y+2y2. 由 消去y得x2-4kx-4b=0. 则x1+x2=4k,x1x2=-4b. 这两条切线的斜率分别为k1=,k2=. 由这两切线垂直得k1k2===-1,得b=1. 所以直线AB恒过定点(0,1). (2)设P(x0,y0),则由(1)x1x0=2y0+2y1,x2x0=

21、2y0+2y2,相减x0=2=2k=,x0=(x1+x2)=2k,y0=x1x0-y1==-1, 当k=0时,则x0=0,可得AB⊥PF, 当k≠0时,则x0≠0,kAB=,kPF=, 同样可得AB⊥PF. 所以·=|AB|·|AF|=(y1+1)(y1+y2+2). 由y1y2==1. 所以·=(y1+1)(y1+y2+2)=+3y1+3+. 令t=y1,则f(t)=t2+3t+3+,(t>0). f′(t)=2t+3-=. 所以f(t)在上为减函数,在上为增函数. 所以(·)min=f=. (或f(t)=t2+3t+3+==≥=,当t=时取等号.) 21.(12分)

22、已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,且过点. (1)求椭圆C的方程. (2)若在椭圆上有相异的两点A,B(A,O,B三点不共线),O为坐标原点,且直线AB,直线OA,直线OB的斜率满足= kOA · kOB (kAB >0), ①求证:|OA|2+|OB|2是定值; ②设△AOB的面积为S,当S取得最大值时,求直线AB的方程. 【解析】(1)由题可知:a=2b, 可设椭圆方程为+=1, 又因为椭圆过点, 则+=1, 解得a=2,b=1, 所以椭圆方程为+y2=1. (2)设直线AB方程为:y=kx+m(k>0),A(x1,y1), B(x2,y2),

23、 因为=kOA·kOB(kAB>0), 所以k2==, 化简得:km(x1+x2)+m2=0. 因为A,O,B三点不共线,所以m≠0,则k(x1+x2)+m=0,(ⅰ) 由可得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 由根与系数关系可得　(ⅱ) 且Δ=16(1+4k2-m2)>0,(ⅲ) 将(ⅱ)代入(ⅰ)式得:k+m=0(k>0), 解得k=,则　(ⅳ) ①|OA|2+|OB|2=+++=++2=[(x1+x2)2-2x1x2]+2, 将(ⅳ)式代入得|OA|2+|OB|2=×[4m2-2×2(m2-1)]+2=5. ②设点O到直线AB的距离为d,则 S

24、△AOB=|AB|·d=|x1-x2|·= |m|=|m|, 由(ⅲ)(ⅳ)可得:m∈(-,0)∪(0,), 则S△AOB=|m|=≤1, 当且仅当m=±1时取得最大值,此时直线AB的方程为y=x±1. 22.(14分)(2018·石家庄一模)点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为-的直线与抛物线交于A,B两点. (1)求弦AB中点M的纵坐标. (2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|·|QF|-|QP|·|QB|为定值. 【解析】(1)kAB===-,　(*) 所以yA+yB=-2,yM==-1. (2)设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0), 联立方程组⇒y2-t1y+t1y0-x0=0, 所以yE+yF=t1,yE·yF=t1y0-x0, |QE|·|QF|=(|yE-y0|)·(|yF-y0|)=(1+)|-x0|, 同理|QP|·|QB|=(1+)|-x0|. 由(*)可知:t1===yA+yP,t2==yB+yP. 所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即t1=-t2⇒=, 所以|QE|·|QF|=|QP|·|QB|, 即|QE|·|QF|-|QP|·|QB|=0.