（新课标）2020版高考数学二轮复习 第三部分 教材知识 重点再现 回顾2 函数与导数学案 文 新人教A版

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1、回顾2　函数与导数 [必记知识] 函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)成立，则f(x)为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值： 若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 指数与对数式的运算公式 am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(ab)m＝ambm(a，b>0)． loga(MN)＝logaM＋l

2、ogaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)． 指数函数与对数函数的对比区分表 解析式 y＝ax(a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1) 图象 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 单调性 01时，在R上是增函数 01时，在(0，＋∞)上是增函数 方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系 由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就

3、是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)函数零点的存在性 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根． 导数公式及运算法则 (1)基本导数公式 c′＝0(c为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x

4、； (ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex； (logax)′＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝. (2)导数的四则运算 (u±v)′＝u′±v′； (uv)′＝u′v＋uv′； ′＝(v≠0)． 导数与极值、最值 (1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值． (2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是

5、此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”. [必会结论] 函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数． (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性． (3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称． (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数． (5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f

6、(x)＝0. (6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数； f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数． 函数的周期性的重要结论 周期函数y＝f(x)满足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|. (3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2|a|. (4)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2|a|. (5)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4|a|. 函数图象对称变换的相关结论 (1)y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象是函数y＝

7、f(－x)的图象． (2)y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象是函数y＝－f(x)的图象． (3)y＝f(x)的图象关于原点对称的图象是函数y＝－f(－x)的图象． (4)y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象是函数y＝f－1(x)的图象． (5)y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称的图象是函数y＝f(2m－x)的图象． (6)y＝f(x)的图象关于直线y＝n对称的图象是函数y＝2n－f(x)的图象． 函数图象平移变换的相关结论 (1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．

8、 (2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)． 函数图象伸缩变换的相关结论 (1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图象． (2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b>0)的图象． 常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表 抽象函数的性质 特殊函数模型 ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x

9、∈R，y∈R)； ②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R) 正比例函数f(x)＝kx(k≠0) ①f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)； ②＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0) 指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1) ①f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)； ②f()＝f(x)－f(y)(x>0，y>0) 对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1) ①f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)； ②f()＝(x，y∈R，y≠0) 幂函数f(x)＝xn 可导函数与极值点之间的三种关系 (1)定义域D上的可导函数f(x)在x＝

10、x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x＝x0两侧异号，若“左负右正”，则x＝x0为极小值点，若“左正右负”，则x＝x0为极大值点． (2)函数f(x)在x＝x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在． (3)“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处取得极值”的既不充分也不必要条件，要注意对极值点进行检验． [必练习题] 1．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．3 C．－或3 D．－或3 解析：选A.当a>0时，若f

11、(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故选A. 2．(2019·贵州省适应性考试)若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 解析：选B.根据题意有a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.32，又20.3>20＝1，log0.32c>b. 3．(201

12、9·济南市学习质量评估)函数y＝－ln|x|的图象大致为(　　) 解析：选D.令f(x)＝y＝－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除选项B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除选项A；当x＝2时，y＝1－ln 2<1－ln e＝0，排除选项C.故选D. 4．(2019·江西七校第一次联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2 018)＋f(2 019)＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．0 解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 018)＝f(2 0

13、18－673×3)＝f(－1)，f(2 019)＝f(2 019－673×3)＝f(0)，由题中图象知f(－1)＝－1，f(0)＝0，所以f(2 018)＋f(2 019)＝f(－1)＋f(0)＝－1. 5．(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝cos(2x－)＋＋1，则f(x)的最大值与最小值的和为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选C.由已知得f(x)＝sin 2x＋＋1，因为y＝sin 2x，y＝都为奇函数，所以不妨设f(x)在x＝a处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在x＝－a处取得最小值，故f(a)＋f(－a)＝sin 2a＋＋1＋s

14、in(－2a)＋＋1＝2.选C. 6．已知R上的奇函数f(x)满足：当x<0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(f(1))＝________． 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x>0时，－x<0，f(－x)＝log2(1＋x)＝－f(x)，故f(x)＝－log2(1＋x)，f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(f(1))＝f(－1)＝log22＝1. 答案：1 7．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________． 解析：由函数f(x)在[a－4，a]的图象关于原点对称

15、，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即. 答案： 8．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1零点的个数为________． 解析：函数y＝f(f(x))－1零点的个数等价于方程f(f(x))＝1实数根的个数，令μ＝f(x)，则f(μ)＝1.方程f(μ)＝1有3个实数根，且μ1＝－，μ2＝0，μ3＝.方程μ1＝f(x)有2个实数根，方程μ2＝f(x)有2个实数根，方程μ3＝f(x

16、)有4个实数根，故函数y＝f(f(x))－1有8个零点． 答案：8 9．已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x(a>0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，求a的值及在该点处的切线方程； (2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2ax－1＋， 易知f′(1)＝2a＝2，得a＝1， 则f(1)＝0， 所以所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 当f(x)是单调递增函数时，有f′(x)≥0，即2ax2－x＋1≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以2a≥＝－＋， 令＝t

17、，t>0，则2a≥－t2＋t，t∈(0，＋∞)， 则2a≥(－t2＋t)max， 令h(t)＝－t2＋t(t>0)，易知当t＝时，h(t)取得最大值，h(t)max＝，则2a≥，所以a≥； 当f(x)是单调递减函数时，有f′(x)≤0，即2ax2－x＋1≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立，因为a>0，所以2ax2－x＋1≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立是不可能的． 综上，a的取值范围为. 10．(2019·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝ax－axln x－1(a∈R，a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x>1时，求证：>－1. 解：(1)f′(x)＝a－a(

18、ln x＋1)＝－aln x，若a>0，则当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 若a<0，则当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (2)证明：要证>－1，即证>e－x，即证1时，x－xln x－1<0，即1时，ln x1，则F′(x)＝ex－单调递增，所以F′(x)>F′(1)＝e－1>0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以F(x)>F(1)，则F(1)＝e，所以ex－ln x>e>0， 所以ex>ln x，所以ex >ln x>，所以原不等式得证． - 8 -