2022高中数学 初高中衔接读本 专题2.1 一元二次方程根的判别式精讲深剖学案

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1、2022高中数学 初高中衔接读本 专题2.1 一元二次方程根的判别式精讲深剖学案 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定

2、一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 【精讲深剖】 一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。 【典例解析】1.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的 实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 【解析】（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0， ∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a

3、2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0， 所以方程一定有两个不等的实数根;， ． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，①当a＝2时，Δ＝0， 所以方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根： x1＝1，x2＝a－1． 【解题反思】在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

4、 【变式训练】 1.已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 【解析】 (1) ； (2) ； (3)； (4) ． 【点评】本题已知根的情况，运用根的判别式，求方程中参数的取值范围。需要逆向思考，体现了思维的灵活性。 2.（1）判断直线与抛物线的交点个数； （2）若直线与抛物线有两个不同的交点，求的范围。 【分析】有题意，曲线交点个数可转化为对应方程组的解的个数，可借助根的判别式进行解决； （2

5、）由，代入消元得；， 整理得；， 由题意可得；，解得， 即当时，直线与抛物线有两个不同的交点。 【点评】判断两曲线交点个数问题时，基本方法为直接求解法，判别式法即图像法。而判别式法在解决二次曲线交点个数问题时更为高效。 3．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：不管为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长,另两边长恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. 【答案】（1）；（2）16或22. 【分析】（1）计算出“根的判别式△的值”，然后通过配方可知无论k去何值，△的值恒大于或等于0，由此可得结论； （2）因为题目中没有告诉等腰△ABC中边是腰还是底，故

6、要分两种情况讨论：①当为腰时，则中有一边为腰，即原方程有一根为6，代入方程可解得k的值，进一步可求得方程的另一根，从而可求△ABC的周长；②当为底时，则都为腰，此时原方程有两个相等的实数根，则△=0，由此可求出k的值，代入原方程求解，从而可求△ABC的周长. 【解析】(1)∵在方程 中， △====， ∴无论k为何值，△0 ， ∴不管k为何值，原方程总有实数根； ②当为底时，则两边均为腰，即原方程有两个相等的实数根， 所以，解得， 此时原方程为：，解得： 即两边均为2，因为，此时三边围不成三角形，此种情况不成立； 综合①②可得的周长为16或22 【点评】问题从一元二次根的判别式“△”入手，通过化简、配方法等将“△”表达式转化为可判断其符号的形式，从而就可以判断原一元二次方程根的情况了；（2）这类问题通常要分“已知边是等腰三角形的腰和底”两种情况分别讨论，同时要特别注意在涉及三角形三边的问题中，求出三边后，一定要用三角形三边间的关系进行检验，看能否围成三角形.