2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定与性质分层演练 文

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1、2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定与性质分层演练 文 一、选择题 1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　) A．m∥l1且n∥l2　　　　 B．m∥β且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α 解析：选A．由m∥l1，m⊂α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件． 2．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是(　　)

2、 ①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β； ②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n； ③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n； ④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n． A．①③ B．③④ C．②④ D．③ 解析：选D．①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α，β相交； ②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n或l∥n或l，n异面； ③正确； ④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n或m∥n或m，n异面． 3． 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　) A．BD

3、∥平面EFGH，且四边形EFGH 是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 解析：选B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，所以EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG．所以四边形EFGH是梯形． 4． 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平

4、面BC1D1． 其中推断正确的序号是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析：选A．因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1， 因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1， 因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D， 所以FG∥平面AA1D1D，故①正确； 因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误； 因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， 所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1， 所以FG∥

5、平面BC1D1，故③正确； 因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A． 5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题： ①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，则l∥α； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n； ④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B．由题易知①正确；②错误，l也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B． 6． 如图，

6、在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为(　　) A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC∥截面PQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45° 解析：选B．因为截面PQMN是正方形， 所以PQ∥MN，QM∥PN， 则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA， 所以PQ∥AC，QM∥BD， 由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确； 由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确； 由BD∥PN， 所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确； 由上面可知：BD∥PN，MN∥AC． 所以＝，＝， 而AN≠DN，PN＝MN， 所以B

7、D≠AC．B错误．故选B． 二、填空题 7． 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH所在四边形的面积为定值； ③棱A1D1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值． 其中正确的命题是________． 解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)． 所以③是正确的；

8、 对于④，因为水是定量的(定体积V)， 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V． 所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的． 答案：①③④ 8．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________． 解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为． 答案： 9．已知平面α∥β，P∉α且P∉ β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．

9、解析：如图1，因为AC∩BD＝P， 图1 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD． 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB， β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD．所以＝， 即＝，所以BD＝． 如图2，同理可证AB∥CD． 图2 所以＝，即＝， 所以BD＝24．综上所述，BD＝或24． 答案：或24 10． 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________． 解析：由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，

10、 则D为AM的中点，PD＝AB＝4． 又因为＝＝3， 所以DQ∥AC，∠PDQ＝，DQ＝AC＝3， 在△PDQ中，PQ＝＝． 答案： 三、解答题 11．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点．延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G．证明：GB∥平面DEF． 证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F． 因为CBD1A1，D1A1＝A1G， 所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C． 又GB⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD， 所以GB∥平面A1B1CD．

11、又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF． 12． 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面BB1D1D； (3)平面BDF∥平面B1D1H． 证明： (1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形， 所以HD1∥MC1． 又因为MC1∥BF， 所以BF∥HD1． (2)取BD的中点O，连接EO，D1O， 则OEDC，又D1GDC， 所以OED1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥

12、D1O． 又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D． (3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B， 所以平面BDF∥平面B1D1H． 1．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l． 证明：(1)由题设知BB1DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BD∥B1D1． 又BD⊄平面CD1B1

13、， B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1． 因为A1D1B1C1BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C． 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1． 又因为BD∩A1B＝B， 所以平面A1BD∥平面CD1B1． (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1， 又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l， 平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD， 所以直线l∥直线BD， 在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形， 所以B1D1∥BD， 所以B1D1∥l． 2．如

14、图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点． (1)求证：BE∥平面DMF； (2)求证：平面BDE∥平面MNG． 证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF． (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG． 又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG．