2022年高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用（二）要点导学

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1、2022年高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用（二）要点导学 基本不等式在方程与函数中的应用 　(xx·成都模拟)已知二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),那么+的最小值为　　　　. [答案]3 [解析]由题意得a>0,且Δ=16-4ac=0⇒ac=4,所以+≥2=3. 　(xx·湖北模拟)已知不等式xy≤ax2+2y2对于任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,那么实数a的取值范围是　　　　. [答案][-1,+∞) [解析]由题意知a≥=-2,对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则a≥t-2t2,易知t∈

2、[1,3],所以t-2t2∈[-15,-1],故a≥-1. 基本不等式在数列、三角函数等问题中的应用 　已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为　　　　. [思维引导]首先根据条件找出m,n的关系式,再利用基本不等式求出+的最小值. [答案]　 [解析]设正项等比数列{an}的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2. 由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6. 故+=(m+n)=+（+）≥+=,当且仅当n=2m时等号成立. [精要点评]将m+n=6表示为(m+n)=1,利用“1”的变换是

3、解决问题的关键. 　(xx·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是　　　　. [答案] [解析]由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC===≥=,当且仅当3a2=2b2即=时等号成立. 基本不等式在解析几何中的应用 　(xx·扬州中学模拟)如图,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N. (例3) (1) 设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值; (2) 求线段MN的长的最小值.

4、[解答](1) 因为A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0, 所以直线AP的斜率k1=,PB的斜率k2=. 又点P在椭圆上,所以+=1(x0≠0), 从而有k1k2=·==-,为定值. (2) 由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0), 直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0), 由Þ 由Þ 所以直线AP与直线l的交点N, 直线BP与直线l的交点M. 又k1k2=-, 所以MN===+4|k1| ≥2=4, 当且仅当=4|k1|,即k1=±时取等号,故线段MN长的最小值是4. 基本不等式在实际问题中的应用 　(x

5、x·湖北卷)某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:m)的值有关,其公式为 F=. (1) 如果不限定车型,l=6.05,那么最大车流量为　　　辆/小时; (2) 如果限定车型,l=5,那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加　　　　辆/小时. [答案](1) 1900　(2) 100 [解析](1) 当l=6.05时,则F==≤=1 900,当且仅当v=,即v=11(米/秒)时取等号. (2) 当l=5时,则F==≤=2 000,当且仅当v=,即v=10

6、(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时. [精要点评]准确构建数学模型是解题的关键.本题根据所得函数的特征要结合基本不等式解决. 　(xx·如皋中学模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 m2,且高度不低于m.记防洪堤横断面的腰长为x(m),外周长(梯形的上底BC与两腰长的和)为y(m). (变式) (1) 求y关于x的函数关系式,并指出其定义域; (2) 要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5m,则其腰长x应在什么范围内? (3)

7、当防洪堤的腰长x为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值. [解答](1) 由题意得9=(AD+BC)h, 其中AD=BC+2·=BC+x,h=x, 所以9=(2BC+x)×x,得BC=-. 由得2≤x<6. 所以y=+,x∈[2,6). (2) 由y=+≤10.5,得3≤x≤4, 因为[3,4]Ì[2,6),所以腰长x的范围是[3,4]. (3) y=+≥2=6,当且仅当=,即x=2时等号成立. 所以外周长的最小值为6 m,此时腰长为2 m. 某化工企业xx年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.

8、5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (1) 求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元); (2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备? [规范答题](1) y=, 即y=x++1.5(x>0). (7分) (2) 由均值不等式得 y=x++1.5≥2+1.5=21.5(万元). (11分) 当且仅当x=,即x=10时取等号. (13分) 答:该企业10年后需要重新更换新设备.(14分) 1. 函数y=x+的值域是　　　　. [答案](

9、-∞,-4 ]∪[4 ,+∞) [解析]当x>0时,x+≥4 (当且仅当x=2 时取等号);当x<0时,-x>0,而(-x)+-≥4 (当且仅当x=-2 时取等号),所以x+≤-4 .则函数y的值域为{y|y≤-4 或y≥4 }. 2. 若x∈(0,π),则y=sin x+的最小值是　　　　. [答案]5 [解析]注意利用基本不等式解决问题时取“=”的条件.函数y在x=时取到最小值. 3. (xx·邛崃月考)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为　　　　. [答案]9 [解析]f'(x)=12x2-2ax-2b,因为

10、函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f'(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab≤==9,当且仅当a=b时取等号. 4. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是　　　　. (第4题) [答案][10,30] [解析]如图所示,△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为y,则=,所以y=40-x.又xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30. (第4题) [温馨提醒] 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第95-96页).