2022高考数学一本策略复习 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆课后训练 文

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1、2022高考数学一本策略复习 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆课后训练 文 一、选择题 1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充分必要条件　 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C. 答案：C 2．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 解析：(x－1)2＋y2＝1的

2、圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2，故选A. 答案：A 3．(2018·临沂模拟)已知直线3x＋ay＝0(a＞0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为(　　) A. B. C．2 D．2 解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即＝，得a＝. 答案：B 4．(2018·济宁模拟)已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为(　　) A．－6±2 B．6±2 C．

3、2±6 D．6±4 解析：因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立，解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以＝2，解得t＝6±2. 答案：B 5．(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cos∠AOB＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y＝2x＋1的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2. 在△AOB中

4、，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－. 答案：D 6．(2018·合肥第一次教学质量检测)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析：当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－ ，综上，直线l的方程为x＝0或3

5、x＋4y－12＝0，故选B. 答案：B 7．已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点(　　) A．(，) B．(，) C．(，0) D．(0，) 解析：因为点P是直线＋＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)． 因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦． 因为圆心C的坐标是(2－m，)，且半径的平方r2＝，所以圆C的方程为(x－2＋m)2＋(y－)2＝，① 又x2＋y2＝1，② 所以②－

6、①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由得所以直线AB过定点(，)．故选B. 答案：B 8．若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|·|AN|的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：圆C的方程化成标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圆心为C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx－y－k＝0(k≠0)，由得N，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y－4＝－(x－3)． 由 得

7、M， 则|AM|·|AN| ＝. ＝××＝6.故选B. 答案：B 二、填空题 9．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4. ∴圆心C(0，－1)，半径r＝2. 圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2. 答案：2 10．(2018·江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点，则的最大值是________． 解析：设动点P(x，y)，令＝t

8、(t＞0)，则＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*) 易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上， 又点P在圆x2＋y2＝2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0， 所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤，解得0＜t≤2，所以的最大值为2. 答案：2 三、解答题 11．已知圆C过点P(1,1)，且圆C与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称． (1)求圆C的方程； (2)设Q为圆C上的一个动点，求·的

9、最小值． 解析：(1)设圆心C(a，b)，则 解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2， 故圆C的方程为x2＋y2＝2. (2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 令x＝cos θ，y＝sin θ， 则·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2， 所以·的最小值为－4. 12．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O

10、为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标． 解析：(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y＝kx， 由＝，得k＝2±， ∴此切线方程为y＝(2±)x. ②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x＋y－a＝0，由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3. ∴此切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上，此切线方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，即x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x＋4y＋3＝0上， 当|PM|取最小值时，|PO|取最小值， 此时直线PO⊥l，∴直线PO的方程为2x＋y＝0. 解方程组得 故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为.