2022高考数学大二轮复习 专题八 选考4系列 专题能力训练23 不等式选讲 理

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1、2022高考数学大二轮复习 专题八 选考4系列 专题能力训练23 不等式选讲 理 1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围. 3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 4.(

2、2018全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值. 5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. 6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A. (1)若a=1,求A; (2)若A=R,求a的取值范围. 7.已知函数f(x)=|2x-

3、1|+|x-a|,a∈R. (1)当a=3时,解不等式f(x)≤4; (2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围. 二、思维提升训练 8.已知函数f(x)= g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R. (1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围; (2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值. 9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)当a=2时,解不等式f(x)≤-; (2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a

4、的取值范围. 10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)≥3; (2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围. 专题能力训练23　不等式选讲(选修4—5) 一、能力突破训练 1.证明 因为|x-1|<,|y-2|<, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)| ≤2|x-1|+|y-2|<2=a. 2.解 (1)原不等式等价于 得-x<-3或-3≤x≤1或1

5、+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4⇒t2+3t-4>0⇒t<-4或t>1. 3.(1)证明 由a>0,有f(x)=+|x-a|+a≥2.故f(x)≥2. (2)解 f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3

6、且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5. 5.(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当-

7、2x+x+3≥2x+4,解得-3-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1, 得x≥a+1或x, 所以a+1≤-2或a+1,得a≤-2. 综上,a的取值范围为a≤-2. 7.解 (1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|= 如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4), 故不等式f(x)≤4的解集为

8、(0,2). (2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|. 由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|, 当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号, 故有(2x-1)(x-a)≤0. 当a=时,可得x=,故x的取值范围为; 当a>时,可得x≤a,故x的取值范围为; 当a<时,可得a≤x,故x的取值范围为 二、思维提升训练 8.解 (1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0), g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|. |x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1, 当且

9、仅当1≤x≤2时等号成立. 故实数b的取值范围是[-1,+∞). (2)当a=1时,g(x)= 当02-2=0; 当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立; 故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0. 9.解 (1)∵a=2, ∴f(x)=|x-3|-|x-2|= ∴f(x)≤-等价于解得x<3或x≥3,∴不等式的解集为 (2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|, ∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a ∴实数a的取值范围是 10.解 (1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|, f(x)= 作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象. 由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为 (2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件; 若a<1,则f(x)= f(x)的最小值为1-a; 若a>1,则f(x)= f(x)的最小值为a-1. 故对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).