（浙江专用版）2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数章末复习学案 新人教A版必修4

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1、 第一章 三角函数 章末复习 学习目标　1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换． 1．任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； (3)叫做α的正

2、切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝ . 3．诱导公式 六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠ kπ＋，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1

3、,1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心：(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)，无对称轴 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 单调性 在(k∈Z) 上单调递增；在(k∈Z) 上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在开区间(k∈Z) 上递增 最值 在x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 在x＝2kπ(k

4、∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值 类型一　三角函数的化简与求值 例1　(2018·牌头中学月考)已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 考点　诱导公式的综合应用 题点　综合运用诱导公式求值 解　(1)f(α)＝＝－cos α. (2)∵cos＝－sin α＝， ∴sin α＝－. 又∵α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－＝－. ∴f(α)＝. (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f＝－cos ＝－cos ＝－cos＝－cos

5、＝－. 反思与感悟　解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 跟踪训练1　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． 考点　诱导公式的综合应用 题点　综合运用诱导公式求值 解　(1)由sin α＋cos α＝， 得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－， 因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，

6、 所以sin α－cos α＝ ＝ ＝＝， 故得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－. (2)＝＝， 又tan α＝－， 所以＝＝－. 类型二　三角函数的图象与性质 例2　(2017·金华十校期末)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数y＝|f(x)|在上的最大值和最小值． 考点　三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 解　(1)由图象可知A＝1，＝＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 又点在函数的图象上， ∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝

7、2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)的解析式是f(x)＝sin. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. ∴－≤sin≤1， ∴f(x)＝sin∈， ∴当2x＋＝，即x＝时， 函数y＝|f(x)|取得最大值1； 当2x＋＝0，即x＝－时， 函数y＝|f(x)|取得最小值0. 反思与感悟　研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决． 跟踪训练2　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长

8、度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 考点　三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 答案　A 解析　由题图知，A＝1，T＝－＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象过点，由五点法知＋φ＝π，所以φ＝，所以y＝sin.故将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变

9、)，可得函数y＝sin的图象． 类型三　三角函数的最值或值域 命题角度1　可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型 例3　求函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值． 考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点　正弦函数的最大值与最小值 解　∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴－≤sin≤1. 当sin＝1，即x＝时，y取得最小值1. 当sin＝－，即x＝π时，y取得最大值4. ∴函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1. 反思与感悟　利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响． 跟踪训练3　函数f(x)

10、＝3sin，x∈的值域为(　　) A. B. C. D. 考点　正弦函数、余弦函数的定义域、值域 题点　正弦函数、余弦函数的值域 答案　B 解析　当x∈时，2x－∈， ∴sin∈， 故3sin∈， 即此时函数f(x)的值域是. 命题角度2　可化为sin x或cos x的二次函数型 例4　已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值． 考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点　正弦函数、余弦函数最值的综合问题 解　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1. 令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤.

11、则y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－2＋＝. 反思与感悟　在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错． 跟踪训练4　(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是 ． 考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点　正弦函数、余弦函数最值的综合问题 答案　1 解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1. 类型四　数形结合思想在三角函数中的应用 例5　如果关于x的方程sin2x－(

12、2＋a)sin x＋2a＝0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围． 考点　正弦函数与余弦函数图象的综合应用 题点　正弦函数与余弦函数图象的综合应用 解　sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0， 即(sin x－2)(sin x－a)＝0. ∵sin x－2≠0，∴sin x＝a， 因此此题转化为求在x∈上，sin x＝a有两个实数根时a的取值范围． 由y＝sin x，x∈与y＝a的图象(图略)知≤a<1. 故实数a的取值范围是. 反思与感悟　数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图

13、象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练5　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为 ． 考点　正弦函数与余弦函数图象的综合应用 题点　正弦函数与余弦函数图象的综合应用 答案　π 解析　记f(x)的最小正周期为T. 由题意知≥－＝，即T≥. 又f＝f＝－f，且－＝， 可作出示意图如图所示(一种情况)， ∴x1＝×＝， x2＝×＝， ∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π. 1．已知sin＝，则cos等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考点

14、　诱导公式的综合应用 题点　综合运用诱导公式求值 答案　D 解析　cos＝sin＝sin＝－sin＝－. 2．已知f(α)＝，则f的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案　C 解析　∵f(α)＝＝＝－cos α， ∴f＝－cos＝－cos ＝－cos＝－cos＝－. 3．函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个φ值为(　　) A. B. C. D. 考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点　正弦函数性质的综合应用 答案　

15、A 解析　令2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 解得x＝＋－(k∈Z)， 因为函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，所以令<＋－<(k∈Z)，解得kπ－<φ

16、＝＝＝2. 令x＝－有ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又因为0<φ<， 令k＝0可得φ＝，函数的解析式为 f(x)＝2sin， 绘制函数g(x)＝2sin ωx＝2sin 2x的图象如图所示，观察可得函数f(x)的图象可以由g(x)＝2sin ωx的图象向左平移至少个单位长度得到． 5．已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． 考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点　正弦函数性质的综合应用 解　(1

17、)f(x)＝2sin＋a， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)当x∈时，2x－∈， 所以当x＝0时，f(x)取得最小值， 即2sin＋a＝－2，故a＝－1. 三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．

18、一、选择题 1．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 考点　任意角的三角函数 题点　任意角三角函数的定义 答案　D 解析　∵sin ＝，cos ＝－. ∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝＝－， ∴角α的最小正值为2π－＝. 2．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝0 B．x＝ C．x＝－ D．x＝ 考点　三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 答案　B 解析　把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得的图象的解析式为y＝sin.

19、由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，故选B. 3．若cos＝－，则sin(－5π＋α)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考点　诱导公式的综合应用 题点　综合运用诱导公式求值 答案　D 解析　因为cos＝－，所以sin α＝，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－，故选D. 4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　) A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1 考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点　余弦函数的最大值与最小值 答案　B 解析　∵－1≤cos x≤1，∴当cos

20、x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B. 5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　) A．y＝sin 2x－2 B．y＝2cos 3x－1 C．y＝sin－1 D．y＝1－sin 考点　三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 答案　D 解析　由题图得＝－，∴T＝π＝， 又ω>0，∴ω＝2，∴y＝1＋sin(2x＋φ)， 当x＝时，0＝1＋sin， ∴2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－－＝2kπ－(k∈Z)． ∴y＝1＋s

21、in＝1－sin ＝1－sin，故选D. 6．(2018·金华东阳中学检测)已知θ∈，则等于(　　) A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ 考点　运用基本关系式求三角函数值 题点　运用基本关系式求三角函数值 答案　A 7．(2017·宁波期末)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 考点　求三角函数的解析式 题点　根据三角函数的图象求解析式 答案　B 解析　函数的最小正周期为π，则＝π

22、，∴ω＝2， 据此可得选项AC错误； 考查选项BD： 当x＝时，sin＝sin＝1，满足题意； 当x＝时，cos＝cos＝0，不满足题意，故选B. 二、填空题 8．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是 ． 考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用 答案　26,27,28 解析　∵T＝，又∵<<， ∴8π

23、三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 答案　2＋ 解析　由图知A＝2，ω＝，φ＝0， ∴f(x)＝2sinx， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0. 又f(x)的周期为8， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2) ＝2sin ＋2sin ＝2＋. 10．已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝ . 考点　诱导公式的综合应用 题点　综合运用诱导公式化简 答案　－ 解析　∵方程2x2－x－1＝0的根为－或1， 又α是第三象限角，∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－

24、， ∴tan α＝＝， ∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. 11．给出下列命题： ①函数y＝cos是奇函数； ②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α

25、小值是－2，最大值是2，不正确；④sin＝sin ＝－1，正确． 三、解答题 12．已知函数g(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．求： (1)函数f(x)在上的值域； (2)使f(x)≥2成立的x的取值范围． 考点　三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 解　(1)由图知B＝＝1，A＝＝2，T＝2＝π， 所以ω＝2，所以g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1. 把代入，得2cos＋1＝－1， 即＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝2kπ＋(k∈Z)． 因

26、为|φ|<，所以φ＝， 所以g(x)＝2cos＋1， 所以f(x)＝2cos＋1. 因为x∈，所以2x－∈， 所以f(x)∈[0,3]，即函数f(x)在上的值域为[0,3]． (2)因为f(x)＝2cos＋1， 所以2cos＋1≥2， 所以cos≥， 所以－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 所以kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以使f(x)≥2成立的x的取值范围是. 13．已知函数f(x)＝cos，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 考点　正弦函数、余弦函数性质的综合

27、应用 题点　余弦函数性质的综合应用 解　(1)因为f(x)＝cos，x∈R， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos ＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝. 四、探究与拓展 14．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为 ． 考点　三角函数图象的综合应用 题点　三角函数图象的综合应用 答案　2 15．已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5,1]，求a，b的值． 考点　正弦函数、余弦函数的定义域、值域 题点　正弦函数、余弦函数的值域 解　∵x∈， ∴2x＋∈，sin∈. ∴当a＞0时，解得 当a＜0时，解得 ∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1. 18