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1、2022年高考数学二轮复习 专题突破练13 求数列的通项及前n项和 理
1.(2018河南郑州一模,理17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=25,S5=55.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设anbn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
2.已知{an}为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,设{bn}的前n项和为Sn,求最小的正整数n,使得Sn>.
3.(2018山西太原三模,17)已知数列{an}满足a1
2、=,an+1=.
(1)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
4.(2018江西上饶三模,理17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(n∈N*).
(1)求a的值及数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(3n+1)an,求数列{an}的前n项和Tn.
5.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公
3、式和前n项和Sn.
6.已知等差数列{an}满足:an+1>an,a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
7.(2018宁夏银川一中一模,理17)设Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式:
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
8.设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且4Sn
4、=an(an+2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求证:Tn<.
参考答案
专题突破练13 求数列的通项及前n项和
1.解 (1)
求得an=3n+2.
(2)bn=
Tn=b1+b2+…+bn=+…+,∴Tn=
2.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
∵a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,
即
∵d≠0,∴解得
∴an=2n-1,n∈N*.
(2)∵bn=,∴Sn=1-+…+=1-
令1-,解得n>1 008,
故所求的n=1 009.
3.(1)证明 ∵an+
5、1=,
=2,是等差数列,+(n-1)×2=2+2n-2=2n,即an=
(2)解 ∵bn=,∴Sn=b1+b2+…+bn=1++…+,
则Sn=+…+,
两式相减得Sn=1++…+=2,
∴Sn=4-
4.解 (1)∵6Sn=3n+1+a(n∈N*),
∴当n=1时,6S1=6a1=9+a;
当n≥2时,6an=6(Sn-Sn-1)=2×3n,即an=3n-1.∵{an}为等比数列,
∴a1=1,则9+a=6,a=-3,
∴{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)得bn=(3n+1)3n-1,
Tn=b1+b2+…+bn=4×30+7×31+…+(3n+1
6、)3n-1,①
3Tn=4×31+7×32+…+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,②
由①-②,得-2Tn=4+32+33+…+3n-(3n+1)3n,
-2Tn=4+-(3n+1)3n,
-2Tn=,
∴Tn=
5.(1)证明 ∵an+2=3an+1-2an(n∈N*),
∴an+2-an+1=2(an+1-an)(n∈N*),=2.
∵a1=1,a2=3,∴数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)得,an+1-an=2n(n∈N*),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n
7、-1+2n-2+…+2+1=2n-1,(n∈N*).
Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.
6.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.∵an+2log2bn=-1,
∴log2bn=-n,即bn=
(2)由(1)得an·bn=Tn=+…+,①
Tn=+…+,②
①-②,得Tn=+2+…+
∴Tn=1+=3-=3-
7.解 (1)
8、由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.
两式相减,得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)==(an+1+an)(an+1-an).
∵an>0,∴an+1-an=2.
+2a1=4a1+3,
∴a1=-1(舍)或a1=3.
则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{an}的通项公式an=3+2(n-1)=2n+1.
(2)∵an=2n+1,∴bn=,
∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+
8.(1)解 4Sn=an(an+2),①
当n=1时,4a1=+2a1,即a1=2.
当n≥2时,4Sn-1=an-1(an-1+2).②
由①-②得4an=+2an-2an-1,即2(an+an-1)=(an+an-1)·(an-an-1).∵an>0,∴an-an-1=2,
∴an=2+2(n-1)=2n.
(2)证明 ∵bn=,
∴Tn=b1+b2+…+bn=1-+…+1-<
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