湖北省宜昌市高中数学 第二讲 不等式的证明学案（无答案）新人教A版选修4-5

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1、 第二讲 证明不等式的基本方法 第一步 本章总览 心中有数 证明不等式的基本方法 第二步 分块自学 提出疑点 §1 比较法 【自学目标】理解作差比较法和作商比较法，掌握利用比较法证明不等式的一般步骤。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 比较法的种类 证明依据 基本步骤 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 适用类型 二、典型例题归纳 例1. 自学P21例1，小组讨论本题的证明方法，并归纳作差比较法的基本步骤方法。 例2. 自学P22例3，并归纳作商比较法的基本步骤方法。 例3. 自学P21

2、例2，从实际问题抽象出数学问题。 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本P23习题2.1 思考题：已知a,b,c,d都是正数，且，求证： §2.1 综合法 【自学目标】理解综合法的概念、综合法证明不等式的原理和思维特点，掌握综合法证明不等式的方法和步骤。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 1. 综合法：一般地，从 出发，利用 、 、 、 等，经过一系列的 、 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做 或 . 2. 自己写出

3、几个综合法证明不等式所依赖的已知不等式： 二、典型例题归纳 例1. 自学P23例1，小组内讲解。 例2. 自学P23例2，小组讨论。 例3. 已知正数a,b,c，且，求证： 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本P25~26习题2.2 / 1、2、8 §2.2 分析法（两课时） 【自学目标】理解分析法的概念、分析法证明不等式的原理和思维特点，掌握分析法证明不等式的方法和步骤。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 1. 分析法：证明命题时，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至所需条件为

4、 或 （ 、 或 、 等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。这是一种 的思考和证明方法. 2. 分析法证明的关键是每一步都必须可逆. 3. 自己总结分析法证明的一般格式 二、典型例题归纳 例1. 自学P24例3，归纳分析法的格式 例2. 自学P25例4，小组内讨论。 小结：综合法与分析法的异同 方法 证明的起始步骤 求证过程 求证目标 证题方向 综合法 基本不等式或已经证明过的不等式 实施一系列的推导或等价变换

5、要求证的结论 由因导果 分析法 要求证的不等式 寻求结论成立的充分条件，并证明这个充分条件成立 所需条件全都成立 执果索因 例3*. 已知，求证： 例4. 已知a,b,c为正数，且，则使成立的最大正数n= 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本P26 / 3、4、6、7、9及以下补充题： 补充题：1. 已知，求证： 2. 求证：若a,b为正数，则 §3.1 反证法 【自学目标】理解反证法证明的依据，掌握反证法证明不等式的方法。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 1. 反证法：先

6、 ，以此为出发点，结合已知条件，应用 等，进行正确的推理，得到和 （或 等）矛盾的结论，以说明 ，从而证明 ，我们把它称为反证法。 2. 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设： 常见词语 至少有一个 至多有一个 唯一一个 不是 不可能 全 都是 否定假设 二、典型例题归纳 例1. 自学P26例1

7、，归纳反证法证明问题的一般步骤 例2. 自学P27例2，小组讨论讲解。 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本P29 / 1、4 §3.2 放缩法（两课时） 【自学目标】理解放缩法证明的原理，并会用放缩法证明不等式。 【自学内容提炼】 一、基础知识梳理 放缩法：证明不等式时，通过 ，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法称为放缩法。 二、典型例题归纳 例1. 自学P28例3，归纳放缩法的基本原理。 例2. 自学P28例4，小组讨论讲解。 例3. 求证：

8、 三、提出疑点与解决 【达标训练】课本P29~30 / 2、3、5、6 第三步 师生合作 释疑提高 §1 比较法 【考题链接】 1. 若，则下面四个式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则p,q的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 若，则与2之间的大小关系为 4. 已知a,b都是正数，，则P,Q的大小关系是 5.（11’福建）设不等式的解集为M． (Ⅰ) 求集

9、合M； (Ⅱ) 若，∈M，试比较与的大小． 【经典题型】 例1. 已知，求证： 例2. 已知数列的首项，前n项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小. 【小结提升】 §2 综合法与分析法 【考题链接】 1. 若实数m,n,x,y满足，其中a,b为常数，那么的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. 设a

10、,b,c不全为0，且，则（ ） A. B. C. 均为负数 D. 3. 若，则下列两式的大小关系为. 4. 已知等比数列的各项均为正数，且公比，若，则P与Q的大小关系为 . 【经典题型】 例1. 设x是正数，求证： 例2. 已知，求证： 例3. 已知，求证： 例4. 已知，求证： 【小结提升】 §3 反证法与放缩法 【考题链接】 1. 设a,b是两个实数，给出下列条件： （1）；

11、（2）；（3）；（4）；（5）， 其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是（ ） A.（2）（3） B.（1）（2） C.（3） D.（4）（5） 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 与1的大小关系是 4. 设，若，则A,B的大小关系是 【经典题型】 例1. 设二次函数，求证：中至少有一个不小于. 例2. 若，求证：. 例3. 已知

12、实数x,y,z不全为零，求证：. 例4. 设，求证：. 【小结提升】 专题：含参数的不等式 一、含参数的不等式解法 例1. 解关于x的不等式：（其中） 例2. 解关于x的不等式： 二、不等式恒成立问题 常见转化方式： 例3. 不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。 例4. 已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 例5. 当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。 例6. 设不等式对满足的一切m的值都成立，求x的取值范围。 - 15 -