2022届九年级数学下册 小专题（八）圆中常见辅助线的作法练习 （新版）湘教版

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1、2022届九年级数学下册 小专题（八）圆中常见辅助线的作法练习 （新版）湘教版 圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站． 圆上若有一切线，切点圆心半径连． 要想证明是切线，半径垂线仔细辨． 是直径，成半圆，想成直角径连弦． 弧有中点圆心连，垂径定理要记全． 圆周角边两条弦，直径和弦端点连． 还要作个内切圆，内角平分线梦圆． 三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算． 一、连半径——构造等腰三角形 1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形． 证明：连接OA，OB. ∵OA，OB是⊙

2、O的半径， ∴OA＝OB. ∴∠OAB＝∠OBA. ∴∠OAC＝∠OBD. 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD(SAS)． ∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形． 二、半径与弦长计算，弦心距来中间站 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个． 2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度． 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA. OA＝0.5 m

3、，AB＝0.8 m. ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝0.4 m. 在Rt△AOC中， OA2＝AC2＋OC2， ∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 答：排水管内水的深度为0.8m. 三、见到直径——构造直径所对的圆周角 构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 解：连接BD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. 又∵∠ADC＝50°， ∴∠CDB＝∠ADB

4、－∠ADC ＝40°. ∵＝ ∴∠CDB＝∠CAB＝40°. ∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°. 四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE. 证明：连接OG. ∵FE切⊙O于点G， ∴∠OGE＝90°. ∴∠OGA＋∠AGE＝90°. ∵CD⊥AB， ∴∠OAK＋∠A

5、KH＝90°. 又∵∠AKH＝∠GKE， ∴∠OAK＋∠GKE＝90°. ∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG. ∴∠KGE＝∠GKE. ∴KE＝GE. 五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切 证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径． 5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线． 证明：连接

6、OA. ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°. 又∵OA＝OC， ∴∠ACP＝∠CAO＝30°. ∴∠AOP＝60°. 又∵AC＝AP， ∴∠P＝∠ACP＝30°. ∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP. 又∵OA为⊙O的半径， ∴AP是⊙O的切线． 6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切． 证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°. ∵AB切⊙O于点D， ∴OD⊥AB. ∴∠ODB＝90°. ∴∠ODB＝∠OEC. 又∵O是BC的中点，∴OB＝OC. ∵A

7、B＝AC， ∴∠B＝∠C. ∴△OBD≌△OCE(AAS)． ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径． ∴AC与⊙O相切． 六、内切圆，连接内角平分线把梦圆 利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换． 7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB. 证明：连接BE. ∵E为△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC. ∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD， ∠DBE＝∠CBE＋∠DBC， 而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠DBE. ∴DE＝DB

8、. 七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积 通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化． 8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积． 解：连接OB，OC. ∵BC∥OA， ∴△OBC和△ABC同底等高． ∴S△ABC＝S△OBC. ∴S阴影＝S扇形OBC. ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. ∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形． ∴∠COB＝60°. ∴S阴影＝S扇形OBC＝＝.