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1、2022年中考数学总复习 提分专练04 二次函数小综合练习 湘教版
|类型1| 二次函数与其他函数的综合
1.如图T4-1,在平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx(a≠0),一次函数y=ax+b(a≠0)以及反比例函数y=(k≠0)的图象都经过点A,其中一次函数的图象与反比例函数的图象还交于另一点B,且一次函数的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.若点A的横坐标为1,该二次函数图象的对称轴是直线x=2,有下列结论:①b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正确结论的个数是 ( )
图T4-1
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图T4-2,
2、曲线BC是反比例函数y=(4≤x≤6)图象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),抛物线y=-x2+2bx的顶点记作A.
(1)求k的值.
(2)判断点A是否可与点B重合.
(3)若抛物线与曲线BC有交点,求b的取值范围.
图T4-2
|类型2| 二次函数与几何图形综合
3.[xx·岳阳] 已知抛物线F:y=x2+bx+c经过坐标原点O,且与x轴另一交点为-,0.
(1)求抛物线F的表达式.
(2)如图T4-3①,直线l:y=x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2-y1的值(用
3、含m的式子表示).
(3)在(2)中,若m=,设点A'是点A关于原点O的对称点,如图T4-3②.
①判断△AA'B的形状,并说明理由.
②平面内是否存在点P,使得以点A,B,A',P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图T4-3
4.[xx·益阳] 如图T4-4,已知抛物线y=x2-x-n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.
(1)如图①,若△ABC为直角三角形,求n的值;
(2)如图①,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以B
4、C为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图②,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.
图T4-4
5.[xx·张家界] 如图T4-5,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).
(1)求a的值并写出二次函数的表达式;
(2)求b的值;
(3)设直线l与二次函数的图象交于M,N两点,过点M作MC垂直x轴于点C,试证明
5、:MB=MC;
(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.
图T4-5
参考答案
1.B [解析] 对称轴为直线x=-=2,
∴b=-4a,故结论①正确;
∵一次函数与反比例函数的图象都经过点A,
∴x=1时,a+b=k,故结论②错误;
由图象可知,4a+2b>,∴8a+4b>k,故结论③正确;
a+2b=-+2b=b,4k=4(a+b)=4-+b=3b,∵二次函数图象开口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴b<3b,∴a+2b<4k,故结论④错误.
2.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函
6、数y=的图象上,
∴k=4(1-m)=6×(-m),∴解得m=-2,∴k=4×[1-(-2)]=12.
(2)∵m=-2,∴B(4,3),
∵抛物线y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,∴A(b,b2).
若点A与点B重合,则有b=4,且b2=3,显然不成立,∴点A不与点B重合.
(3)当抛物线经过点B(4,3)时,有3=-42+2b×4,解得b=,
显然抛物线右半支经过点B;
当抛物线经过点C(6,2)时,有2=-62+2b×6,解得b=,
这时仍然是抛物线右半支经过点C.
故b的取值范围为≤b≤.
3.[解析] (1)将(0,0)和-,0代入y=x2+bx+c,解出
7、b和c即可.
(2)首先联立y=x+m与y=x2+x,解出x1和x2,然后将x1和x2分别代入y=x+m,解出y1和y2,进而得出结果.
(3)①首先根据题意得出A'的坐标,进而得出A'B的长度,根据点A的坐标得出OA的长度,进而得出AA',然后根据三角函数的定义得出sinA',进而得出∠A'的度数,进而得出△AA'B的形状;
②分别以AA',A'B和AB为菱形的对角线,根据菱形的性质得出点P的坐标即可.
解:(1)根据题意,得
解得
∴抛物线F的表达式为y=x2+x.
(2)联立y=x+m与y=x2+x,
解得x1=-,x2=,
∴y1=x1+m=-+m,y2=x2+m=+
8、m,
∴y2-y1=+m--+m=.
(3)①△AA'B是等边三角形.理由:当m=时,x1=-,x2=,
∴y1=,y2=2,
∴A-,,B,2.
∵点A与点A'关于原点对称,
∴A',-,
∴A'B=2--=.
∵OA==,
∴OA'=,
∴AA'=,
∴A'B=AA'.
∵点A到BA'的距离d=+=,
∴sinA'===,
∴∠A'=60°,
∴△AA'B是等边三角形.
②存在.
若以AA'为菱形的对角线,则点P与点B关于原点对称,此时点P的坐标为-,-2;
若以A'B为菱形的对角线,则点P为将点A向右移动2d个单位长度得到的点,此时点P的坐标为2,;
9、
若以AB为菱形的对角线,则点P为将点A向上移动A'B个单位长度得到的点,此时点P的坐标为-,.
综上,点P的坐标为-,-2或2,或-,.
4.[解析] (1)利用一元二次方程根与系数的关系结合相似三角形的性质即可求出n的值;
(2)因为以BC为边,所以PQ∥BC,PQ∥BC可分为点P在点Q左侧和点P在点Q右侧两种情况;
(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F,构造△ADF∽△BCO,利用三角形相似,结合点A和点D在抛物线上列方程组求解.
解:(1)若△ABC为直角三角形,则OC2=OA·OB.
由抛物线y=x2-x-n(n>0),可得
OC=n,OA·OB=2n,
∴n2=2n,
10、解得n1=2,n2=0(舍去),
∴n=2.
(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=x2-x-2,抛物线的对称轴为直线x=.
令y=0,得x1=-1,x2=4,
∴A(-1,0),B(4,0).
设点Pm,m2-m-2,
当直线PQ∥BC,点P在点Q的左侧(如图所示),
△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,
此时NQ=OB,即-m=4,则m=-,
则m2-m-2=,
此时点P的坐标为-,;
当点P在点Q的右侧时(如图所示),
同理可得m-=4,即m=,
则m2-m-2=,
此时点P的坐标为,.
综上所述,满足条件的点P的坐标为-,,,.
11、
(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F.如图,
则AO∶OF=AE∶ED=1∶4.
设A(a,0),B(b,0),
则AO=-a,OF=-4a.
∵AD∥BC,
∴∠OBC=∠DAO.
∵∠BOC=∠AFD=90°,
∴△BOC∽△AFD,
∴=,
即=,
∴=.
由题意得ab=-2n,∴=-,
∴DF=-5a·=-5a·-=a2.
∵点A,D在抛物线上,
∴
解得
∴n的值为.
5.[解析] (1)将点A的坐标代入二次函数的表达式,即可求出a的值,进而得到二次函数的表达式.
(2)将点B的坐标代入一次函数的表达式,即可求出b的值.
(3)过点M作ME
12、⊥y轴于点E,设Mx,x2+1,进而用含x的式子分别表示MB和MC.
(4)过点N作ND⊥x轴于点D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.根据(3)知NB=ND,通过等量代换,得出PF=MN.
解:(1)根据题意,得2=a×(-2)2+1,
解得a=,∴y=x2+1.
(2)根据题意,得2=k×0+b,解得b=2.
(3)证明:如图,过点M作ME⊥y轴于点E.
设Mx,x2+1,则MC=x2+1,
∴ME=|x|,EB==.
∵MB===
==x2+1,
∴MB=MC.
(4)相切.理由如下:
如图,过点N作ND⊥x轴于D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.
由(3)知NB=ND,
∴MN=NB+MB=ND+MC.
∵PG=MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,
∴2PF=2PG+2GF
=MH+ND+HC
=ND+MC,
∴PF=MN,
∴以线段MN为直径的圆与x轴相切.
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