2022高考数学“一本”培养专题突破 限时集训4 数列求和与综合问题 文

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1、2022高考数学“一本”培养专题突破 限时集训4 数列求和与综合问题 文 一、选择题 1．(2018·昆明模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则a3＋a8的值是(　　) A．200　　　B．100　　　C．20　　　D．10 C　[当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，所以an＝2n－1，所以a3＋a8＝5＋15＝20，故选C.] 2.＋＋＋…＋的值为(　　) A. B.－ C.－ D.－＋ C　[∵＝＝＝－，∴＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝＝－.] 3．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，

2、则a2 018＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 D　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…因此数列{an}是周期为3的周期数列，a2 018＝a3×672＋2＝a2＝2，故选D.] 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则S10＝(　　) A．91 B．90 C．55 D．54 A　[由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2， 即an＋1－an＝2(n≥2)，又a2－a1＝1， 因此

3、数列{an}从第2项起，是公差为2的等差数列， 则S10＝a1＋(a2＋a3＋…＋a10)＝1＋9×2＋×2＝91.] 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[法一：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，由公式Sn＝na1＋d＝na1＋， 得 由①得a1＝，代入②可得m＝5. 法二：∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn， ∴数列也为等差数列． ∴＋＝，即＋

4、＝0，解得m＝5.经检验为原方程的解．故选C.] 6．(2018·厦门模拟)已知函数f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018等于(　　) A．－2 017 B．－2 018 C．2 017 D．2 018 D　[当n为奇数时，an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，当n为偶数时，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以a1＝－3，a2＝5，a3＝－7，a4＝9…，故a1＋a2＝2，a3＋a4＝2…，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝2×＝2 018，故选D.] 7．(2018·河南百校联盟模拟)已知正项数列{an}中，a1＝1，

5、a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，则S33的值是(　　) A. B. C．4 D．3 D　[∵2a＝a＋a(n≥2)，∴数列{a}为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3. ∴a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∵an＞0，∴an＝， ∴bn＝＝＝(－)，故数列{bn}的前n项和为Sn＝ ＝(－1)，则S33＝(－1)＝3.故选D.] 8．(2018·南阳模拟)设数列{an}的通项公式an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，若数列{an}的前n项积为Tn，则使Tn＞100成立的最小正整数n为(　　) A．9

6、 B．10 C．11 D．12 C　[因为＝＝2，所以an＝2＝，该数列的前n项积为Tn＝2n＝，由题意知＜100，＜100，＞100，使Tn＞100成立的最小正整数n为11，故选C.] 二、填空题 9．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，则an＝________. 2×3n－1(n∈N*)　[因为2Sn＋2＝3an，① 所以2Sn＋1＋2＝3an＋1，② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an， 所以2an＋1＝3an＋1－3an，即＝3. 当n＝1时，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以数列{an}是首项

7、为2，公比为3的等比数列， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)．] 10．(2018·晋城模拟)已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn＋1＋Sn＝2an＋1，且a1＝1，则an＝________. an＝　[因为Sn＋1＋Sn＝2an＋1，①，所以Sn＋Sn－1＝2an，②，①－②得an＋1＋an＝2an＋1－2an，(n≥2)，即＝3，当n＝1时，(a1＋a2)＋a1＝2a2.解得a2＝2，∴an＝] 11．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝________. n·2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2

8、(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．] 12．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为________． 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.] 三、解答题 13．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； (2)设b

9、n＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. [解]　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意有解得 所以{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)知，bn＝. 当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1； 当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2； 当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3； 当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 14．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜. [解]　(1)由已知及等差数列的性质得S5＝5a3， ∴a3＝14， 又a2，a7, a22成等比数列，所以a＝a2·a22. 所以(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0， 解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4. 故数列{an}的通项公式为an＝4n＋2，n∈N*. (2)由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝， ∴Tn＝ ＝－. 又Tn≥T1＝－＝， 所以≤Tn＜.