2022高考数学“一本”培养专题突破 限时集训10 圆锥曲线中的综合问题 文

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1、2022高考数学“一本”培养专题突破 限时集训10 圆锥曲线中的综合问题 文 1．(2018·北京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明． [解]　(1)由题可得解得. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)结论：θ1＝θ2，理由如下： 由题知直线l1斜率存在， 设l1：y＝k(x

2、＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立， 消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 由题易知Δ＞0恒成立， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为l2与l1斜率相反且过原点， 设l2：y＝－kx，E(x3，y3)，F(x4，y4)， 联立 消去y得(1＋2k2)x2－2＝0， 由题易知Δ＞0恒成立， 由根与系数的关系得x3＋x4＝0，x3x4＝， 因为E，F两点不与A，B重合， 所以直线AE，BF存在斜率kAE，kBF， 则kAE＋kBF ＝k· ＝k· ＝k·＝0， 所以直线AE，BF的倾斜角互补，所以θ1＝θ2.

3、 2．(2018·枣庄模拟)已知抛物线C：y2＝2px(0

4、y1)，由根与系数的关系，得1×x1＝，即x1＝. y1＝kx1＋1－k＝k·＋1－k＝－1＋. 所以A. 由题意，直线PB的斜率为. 同理可得B， 即B((k－1)2，k－1)． 若直线l的斜率不存在，则＝(k－1)2. 解得k＝1，或k＝－1. 当k＝1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符； 当k＝－1时，直线PA与直线PB的斜率均为－1，A，B两点重合，与题意不符． 所以，直线l的斜率必存在． 直线l的方程为y－(k－1)＝，即y＝x－1. 所以直线l过定点(0，－1)． 3．(2018·郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线

5、l：x＝－1相切． (1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程； (2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B、C两点，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l距离，所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线， 故：曲线G的方程是y2＝4x. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，其中－3

6、x2＝4－2m，x1x2＝m2，∴|AB|＝4，点A到直线l的距离为d＝， ∴S△＝·4＝2(3＋m)． 令＝t∈(1,2)，则m＝1－t2，∴S△＝2t(4－t2)＝8t－2t3， 令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2. y＝f(t)在上递增，在上递减． y＝f(t)在t＝时即m＝－时取得最大值． △ABC的最大面积为. 4．(2018·江西六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线－＝1的离心率互为倒数，且过点P. (1)求椭圆C的方程； (2)过P作两条直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜)相切且分别交椭圆于M、N两点．

7、①求证：直线MN的斜率为定值； ②求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点)． [解]　(1)可得e＝，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c， 因为C过点P，所以＋＝1，又c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1. (2)①证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由于直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜)相切，则有k1＝－k2， 直线l1的方程为y－＝k1(x－1)，联立方程组 消去y，得x2(4k＋3)＋k1(12－8k1)x＋(3－2k1)2－12＝0， 因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1＋1＝， 同理，当l2与椭圆相交时，x2＋1＝， 所以x1－x2＝，而y1－y2＝k1(x1＋x2)－2k1＝， 所以直线MN的斜率k＝＝. ②设直线MN的方程为y＝x＋m，联立方程组消去y得x2＋mx＋m2－3＝0， 所以|MN|＝·＝， 原点O到直线的距离d＝， △OMN面积为S＝·· ＝≤＝， 当且仅当m2＝2时取得等号．经检验，存在r(0＜r＜)，使得过点P的两条直线与圆(x－1)2＋y2＝r2相切，且与椭圆有两个交点M，N. 所以△OMN面积的最大值为.