2022高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 课下层级训练38 空间点、直线、平面的位置关系（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 课下层级训练38 空间点、直线、平面的位置关系（含解析）文 新人教A版 1．在下列命题中，不是公理的是(　　) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A　[选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．] 2．(2019·甘肃兰州统考)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要条件是(　　) A．m∥α，n∥α　　　　　　　 B．m⊥

2、α，n⊥α C．m∥α，n⊂α D．m，n与平面α成等角 D　[A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面内，必要性不成立；D中，m，n平行，则m，n与α成的角一定相等，但反之如果两直线m，n与α成的角相等则不一定平行，所以是必要非充分条件．] 3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　) A．相交　　 B．异面　　 C．平行　　　 D．垂直 A　[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

3、] 4．以下四个命题中， ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．] 5．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A

4、1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1＝1，则 BD1与AF1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　[取BC的中点E，连接EF1，EA，则可知∠EF1A为BD1与AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝，AF1＝，AE＝，由余弦定理得，cos∠EF1A＝＝.] 6．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面． 1或4　[如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．] 7．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原

5、正方体中互为异面直线的有__________对． 3　[平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．] 8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为__________. 　[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面

6、直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.] 9．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小． 解　如图，连接D1M，可证D1M⊥DN. 又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1， A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1， ∴DN⊥A1M，即异面直线A1M与DN所成的夹角为90°. 10

7、．如图，在三棱锥P ­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2. 求：(1)三棱锥P­ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. [B级　能力提升训练] 11．(2019·福建福州质检)直三棱柱

8、ABC ­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　[如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD， 则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.] 12．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　) A． B．

9、C． D． A　[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角． 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.] 13．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a

10、的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是__________. 0a，所以0

11、成60°角，DE⊥MN.] 15．如图所示，三棱锥P­ABC中， PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点． (1)求证AE与PB是异面直线； (2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值． (1)证明　假设AE与PB共面，设平面为α， ∵A∈α，B∈α，E∈α， ∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE， 这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线． (2)解　取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC， ∴

12、AF＝，AE＝，EF＝， cos∠AEF＝＝＝， 故异面直线AE与PB所成角的余弦值为. 16．如图所示，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2. (1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF? (2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值． 解　(1)方法一　如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M. 因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC． 又因为EC＝2FB

13、＝2， 所以OM∥EC∥FB且OM＝EC＝FB， 所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF. 因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF， 故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点． 方法二　如图所示， 取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ. 因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF， 所以PQ∥AE，PB∥EF， 所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF， 因为PB∩PQ＝P，PB⊂平面PBQ，PQ ⊂平面PBQ， 所以平面PBQ∥平面AEF. 又因为BQ⊂平面PBQ, 所以BQ∥平面AEF. 故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点． (2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角． 易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE， 所以cos∠OFE＝＝＝， 所以BM与EF所成的角的余弦值为.