中考数学全程演练 第46课时 二次函数综合型问题

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1、中考数学全程演练 第46课时 二次函数综合型问题 (50分) 一、选择题(每题10分，共10分) 图46－1 1．[xx·嘉兴]如图46－1，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<12，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长最小值为6.其中正确判断的序号是 (C) A．① B．② C．③

2、 D．④ 【解析】　①根据二次函数所作象限，判断出y的符号； ②根据A，B关于对称轴对称，求出b的值； ③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2； ④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连结D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D，E，D′，E′的坐标即可解答． 二、填空题(每题10分，共10分) 图46－2 2．[xx·衢州]如图46－2，已知直线y＝－x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－x2＋2x＋5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线y＝－x＋

3、3于点Q，则PQ＝BQ时，a的值是__4，－1，4＋2或4－2__. 【解析】　P点横坐标为a，因为P点在抛物线y＝－x2＋2x＋5上，所以P点坐标为，又 PQ∥y轴，且Q点在函数y＝－x＋3上，所以点Q坐标为，B点坐标为(0，3)，根据平面内两点间的距离公式，可得PQ＝，BQ＝，根据题意，PQ＝BQ，所以 ＝，解得a的值分别为－1，4，4＋2或4－2. 三、解答题(共30分) 3．(15分)[xx·内江改编]如图46－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴．且AB平分∠CAO. (1)求抛物线的解析式； (2)线段AB上有一

4、动点P，过P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值． 图46－3 解：(1)A(－3，0)，C(0，4)， ∴AC＝5， ∵AB平分∠CAO， ∴∠CAB＝∠BAO， ∵CB∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴AC＝BC＝5，∴B(5，4)， A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入y＝ax2＋bx＋c得 解得 所以y＝－x2＋x＋4； 第3题答图 (2)设AB的解析式为y＝kx＋b，把A(－3，0)，B(5，4)代入得解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋； 可设P，Q， 则PQ＝－x2＋x＋4－＝－(x－1)2＋，当x＝1

5、时，PQ最大，且最大值为. 4．(15分)[xx·福州改编]如图46－4，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q. (1)这条抛物线的对称轴是__x＝2__；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__45°__； (2)若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的值． 解：(2)设直线PQ交x轴于点B，分别过点O，A作PQ的垂线，垂足分别为E，F. 当点B在OA的延长线上时，显然S△POQ＝S△PAQ不成立． ①如答图①所示， 当点B落在线段OA上时，＝＝， 图46－4 由△OBE∽△ABF，得＝＝， ∴AB

6、＝3OB. ∴OB＝OA. 由y＝x2－4x得点A(4，0)， ∴OB＝1， ∴B(1，0)． 第4题答图① ∴1＋m＝0，∴m＝－1； ②如答图②所示， 当点B落在线段AO的延长线上时， ＝＝， 由△OBE∽△ABF，得＝＝， ∴AB＝3OB. ∴OB＝OA. 第4题答图② 由y＝x2－4x得点A(4，0)， ∴OB＝2， ∴B(－2，0)． ∴－2＋m＝0， ∴m＝2. 综上所述，当m＝－1或2时，S△POQ＝S△PAQ. (30分) 图46－5 5．(15分)[xx·株洲]如图46－5，已知抛物线的表达式为y＝－x2＋6x＋c. (1)若抛物

7、线与x轴有交点，求c的取值范围； (2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，若x＋x＝26，求c的值； (3)若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等，求证：c>－. 解：(1)∵y＝－x2＋6x＋c与x轴有交点， ∴－x2＋6x＋c＝0有实数根， ∴b2－4ac≥0， 即62－4×(－1)×c≥0， 解得c≥－9； (2)∵－x2＋6x＋c＝0有解，且x＋x＝26， ∴c≥－9，(x1＋x2)2－2x1x2＝26， 即－2×＝26， 解得c＝－5； (3)设P的坐标为(m，n)，则Q点坐标

8、为(n，m)，且m>0，n>0，m≠n， 将这两个点的坐标代入方程得 ①－②得 n2－m2＋7(m－n)＝0， (m－n)(m＋n－7)＝0， ∴m＋n＝7， ∴n＝7－m， 代入方程①得， －m2＋7m＋(c－7)＝0， ∵存在这样的点，∴以上方程有解， ∴72－4×(－1)×(c－7)≥0， 解得c≥－， 而当c＝－时，m＝，此时n＝， 故c>－. 图46－6 6．(15分)[xx·温州]如图46－6抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，E

9、F∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF. (1)求点A，M的坐标； (2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？ (3)当BD＝1时， ①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上； ②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__. 解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)； (2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)， ∴EF＝OC＝2，∴BC＝1， ∴点F的横坐标为5， ∵点

10、F落在抛物线y＝－x2＋6x上， ∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝， ∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝； (3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)． 第6题答图 设MF的解析式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入， 得解得 ∴y＝－3x＋18. ∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，∴点A落在直线MF上； ②∵BD＝1，BC＝1， ∴△BDC为等腰直角三角形， ∴△OBE为等腰直角三角形， ∴CD＝，CF＝OE＝3， ∴DP＝，PF＝， 根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为，作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，所以EG＝，S△FPG

11、，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比， 故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE ＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE) ＝∶∶(3＋1) ＝∶2∶4＝3∶4∶8. (20分) 7．(20分)[xx·成都]如图46－7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC. 图46－7　 　备用图 (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用

12、含a的式子表示)； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； (3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)令ax2－2ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A点坐标为(－1，0)； ∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k， ∴y＝kx＋k， 令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0， ∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4， ∴－3－＝－1×4，∴k＝a， ∴直线l的函数表达式为y＝ax＋

13、a； (2)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F， 设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)， EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a， 第7题答图① S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a－a， ∴△ACE的面积的最大值为－a. ∵△ACE的面积的最大值为， ∴－a＝，解得a＝－； (3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a， 即ax2－3ax－4a＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴D(4，5a)， ∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛

14、物线的对称轴为x＝1， 设P(1，m)， ①如答图②，若AD是矩形的一条边，则Q(－4，21a)， m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)， ∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°， ∴AD2＋PD2＝AP2， ∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2， 即a2＝，∵a＜0，∴a＝－， ∴P1； 第7题答图 ②如答图③，若AD是矩形的一条对角线， 则线段AD的中点坐标为，Q(2，－3a)， m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a)， ∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°， ∴AP2＋PD2＝AD2， ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2， 即a2＝，∵a＜0，∴a＝－， ∴P2(1，－4)， 综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或(1，－4)．