6、′(x)<0，即f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e.
答案：－3e
9．若函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2mx＋－2＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以二次函数g(x)＝2mx2－2x＋1在定义域(0，＋∞)上必须大于等于0，所以解得m≥.
答案：
10．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．
解析：∵f(x)＝4x3－ax
7、2－2bx＋2，
∴f′(x)＝12x2－2ax－2b.
又f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，
∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，
当且仅当a＝b＝3时，t取得最大值9.
答案：9
11．在曲线y＝x－(x>0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________.
解析：因为y′＝1＋，切点P，x0>0，
所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝1＋，
所以切线方程是y－＝(x－x0)．
令y＝0，得x＝，即A；
令x＝0得y＝－，即B.
所以S△OA
8、B＝OA×OB＝××＝＝，
解得x0＝.
答案：
12．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析：由题意知x>0，且f′(x)＝－x＋4－＝＝－，
由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，
则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，
由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.
答案：(0,1)∪(2,3)
13．已知函数f(x)＝－xln x＋ax在(0，e]上是增函数，函数g(x)＝|ex－a|＋，当x∈[0，ln 3]时，函数
9、g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为________．
解析：由题意可知f′(x)＝－(ln x＋1)＋a≥0在(0，e]上恒成立，所以a≥ln x＋1，即a≥2.
当2≤a＜3时，g(x)＝
g(x)在[0，ln a]上单调递减，在[ln a，ln 3]上单调递增，因为g(0)－g(ln 3)＝a－1＋－＝2a－4≥0，所以g(0)≥g(ln 3)，
所以M－m＝g(0)－g(ln a)＝a－1＝，
解得a＝；
当a≥3时，g(x)＝a－ex＋，
g(x)在[0，ln 3]上递减，
所以M－m＝g(0)－g(ln 3)＝2≠，舍去．
故a＝.
答案：
14．若
10、函数f(x)＝(a∈R)在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：设g(x)＝－，因为f(x)＝|g(x)|在区间[1,2]上单调递增，所以g(x)有两种情况：
①g(x)≤0且g(x)在区间[1,2]上单调递减．
又g′(x)＝，所以g′(x)＝≤0在区间[1,2]上恒成立，且g(1)≤0.
所以无解．
②g(x)≥0且g(x)在区间[1,2]上单调递增，即g′(x)＝≥0在区间[1,2]上恒成立，且g(1)≥0，
所以解得a∈.
综上，实数a的取值范围为.
答案：
B组——力争难度小题
1．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1
11、是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，
由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1＝
＝－.
①若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，
所以－＞1，解得－1＜a＜0.
综合①②，得a的取值范围是(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xO
12、y中，曲线C：xy＝上任意一点P到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为________．
解析：设过曲线C：xy＝上任意一点P的切线与直线l：x＋y＝0平行．
因为y′＝－，所以y′|x＝x0＝－＝－，
解得x0＝±.
当x0＝时，P(，1)到直线l：x＋y＝0的距离d＝＝；
当x0＝－时，P(－，－1)到直线l：x＋y＝0的距离d＝＝，
所以曲线C：xy＝上任意一点到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为.
答案：
3．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－b.若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.
解析：对于函数y＝，y′＝，由y′>
13、0，得x<2；由y′<0，得x>2，
所以y＝在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，极大值为，当x→＋∞时，y→0.
先不考虑a，作出y＝和y＝－x－1的图象如图所示．只有当b∈时，直线y＝b与曲线y＝和直线y＝－x－1共有三个公共点．
因为直线y＝与直线y＝－x－1的交点为.
所以当a∈时，存在直线y＝b与曲线y＝f(x)恰有三个公共点．
答案：
4．曲线y＝－(x<0)与曲线y＝ln x公切线(切线相同)的条数为________．
解析：令公切线与曲线f(x)＝－切于点A(x1<0)，与曲线g(x)＝ln x切于点B(x2，ln x2)(x2>0)．因为f′(
14、x)＝，g′(x)＝，所以＝，即x2＝x.又kAB＝＝，所以＝，所以2x1ln(－x1)＝x1－2.令－x1＝t>0，所以－2tln t＝－t－2，即2tln t＝t＋2(t>0)，所以ln t＝＋(t>0)，画出函数y＝ln t与y＝＋的图象如图所示，在(0，＋∞)上只有一解，所以公切线只有一条．
答案：1
5．已知函数f(x)＝若对于∀t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：令y＝x3－2x2＋x，x<1，则y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，
令y′>0，即(x－1)(3x－1)>0，
解得x<或x>1.
又因为x<1，所以x<
15、.
令y′<0，得
16、
解析：f′(x)＝＋(e－a)＝(x＞0)，
当e－a≥0，即a≤e时，f(eb)＝(e－a)eb＞0，显然f(x)≤0不恒成立．
当e－a＜0，即a＞e时，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
所以f(x)max＝f＝－ln(a－e)－b－1.
由f(x)≤0恒成立，得f(x)max≤0，
所以b≥－ln(a－e)－1，所以得≥.
设g(x)＝(x＞e)，
g′(x)＝＝.
由于y＝＋ln(x－e)为增函数，且当x＝2e时，g′(x)＝0，所以当x∈(e,2e)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数；当x∈(2e，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，所以g(x)min＝g(2e)＝－，所以≥－，当a＝2e，b＝－2时，取得最小值－.
答案：－
江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 函数、不等式与导数 5.3 小题考法—导数的简单应用达标训练（含解析）
