中考数学专题训练 几何题中用旋转构造“手拉手”模型

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1、中考数学专题训练 几何题中用旋转构造“手拉手”模型 一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知 师：如图，△ABD，△BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论？ 生：（1）△ABE≌△DBC （2）△ABG≌△DBF （3）△CFB≌△EGB （4）△BFG为等边三角形 （5）△AGB

2、∽△DGH （6）∠DHA＝60°（7）H，G，F，B四点共圆 （8）BH平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE与△DBC，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？ 生：它们有同一个字母B，即同一个顶点B． 师：我们也可以把△DBC看作由△ABE经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B逆时针旋转60°得到． 2.引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等． 师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点． 师：我们可以称之为“共顶点”

3、． 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转． 师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． 3.小题热身 图3 图2 图1 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C， 则AF＝____BE． 2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______． 3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°， BE＝3，DF＝5，则EF＝_______． 师：我们来看第1，第2题，这里面有

4、“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”． 生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD． 题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE． 师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？ 生：没有． 师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？ 生：等线段是AD，AB，共顶点是A． 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？ 生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°． 师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？ 生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形， AB绕点A逆时针旋转9

5、0°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等． 师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？ 生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条 “共顶点”的线段，将其旋转． 师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？ 生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致． 师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？ 步骤1：先找有没有“等线段，共顶

6、点”． 步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过 “共顶点”的线段旋转． 步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角． 师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？ 生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线． 4.例题精讲 例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数． 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？ 要构造全等，该怎样旋转？ 生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°． 师：你是怎么想的，还有其他做法吗？ 生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段 是AD，因为AC绕点A顺时

7、针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°． 【解答】 将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150° 例2： 如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形， ÐAOB＝ÐCOD＝90°．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积． 师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？ 生：将OD绕点O逆时针旋转

8、90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形． 【解答】 如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2． 5.自主练习 1．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 _________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA和BA，“共顶点”是A．方法是将AD绕点A顺时针

9、旋转90°． 2．如图，在△ABC中，BC＝2，AB＝，以AC为边，向外做正方形ACDE，连接BE，则BE最大值为_________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA和EA，“共顶点”是A． 方法是将AB绕点A逆时针旋转90°． 师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？ 生：△ABC，因为AC是逆时针旋转90°到AE，所以AB也绕点A逆时针旋转90°． 3．如图，点A在⊙B上，AB＝1，BC＝2，△ACD是等边三角形，求△BCD面积的最大值． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA和CD，“共顶点”

10、是C． 方法是将CA绕点C逆时针旋转60°． 附：自主练习解答 1． 如图，将AD绕点A顺时针旋转90°至AE，易证△EAC≌△DAB，可得CE＝BD，又∵∠EDA＝45°，∴∠CDE＝90°，CD＝3，DE＝4，则Rt△CDE中，CE2＝CD2＋DE2＝32 ＋ (4)2＝41 ∴CE＝，∴DB＝ 2.如图，将AB绕点A逆时针旋转90°至AF，易证△EAF≌△CAB，可得EF＝BC＝2．Rt△BAF中，AF＝AB＝，∴BF＝2．由三角形三边关系易知，BE≤EF＋BF，∴BE最小值为4. 3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED， 则DE＝1，EF＝，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF． 当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋， S△BCDmax＝×2×（1＋）＝1＋