（文理通用）2022届高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语等 第2讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明练习

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1、（文理通用）2022届高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语等 第2讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明练习 A组 1．(2017·全国卷Ⅱ，1)＝( D ) A．1＋2i　　 B．1－2i　　　 C．2＋i　　 D．2－i [解析]　＝＝＝2－i. 故选D． 2．(文)已知i为虚数单位，则复数＝( C ) A．2＋i B．2－i C．－1－2i D．－1＋2i [解析]　＝＝－1－2i，故选C． (理)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，则|a＋bi|＝( C ) A．＋i B． C． D． [解

2、析]　∵(1＋2ai)i＝－2a＋i＝1－bi， ∴a＝－，b＝－1， ∴|a＋bi|＝|－－i |＝＝. 3．(2018·济南二模)已知数列{an}，观察如图所示的程序框图，若输入a1＝1，d＝2，k＝7，则输出的结果为( C ) A． B． C． D． [解析]　由题中程序框图知，输出S＝＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋…＋－)＝. 4．设向量a，b满足|a＋b|＝，a·b＝4，则|a－b|＝( C ) A． B．2 C．2 D． [解析]　向量的数量积．∵|a＋b|＝，a·b＝4， ∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2

3、，故选C． 5．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( B ) A． B． C．2 D．10 [解析]　∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2， ∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝. 6．(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( D ) A．21 B．34 C．52 D．55 [解析]　由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和

4、，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D． 7．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是( D ) A．k＝8? B．k≤7? C．k<7? D．k>7? [解析]　开始→k＝10，S＝1，满足条件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，满足条件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，满足条件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于输出S的值为28，故k＝7不再满足条件，故选D． 8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝( A ) A． B． C． D． [解析]　如图， ＋ ＝－(

5、＋)－(＋) ＝－(＋)＝(＋)＝. 选A． 9．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( B ) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 [解析]　由|a·b|＝||a|·|b|·cosθ|， 因为－1≤cosθ≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立； 由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a－b|≥||a|－|b||，故B选项不成立； 根据向量数量积的运算律C，D选项恒成立． 10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的

6、所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C ) A．201 B．411 C．465 D．565 [解析]　200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465. 11．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1. [解析]　(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，所以a＋1＝

7、0，a＝－1. 12．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于4. [解析]　由a∥b⇒m＋4＝0，解得m＝－4，故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a＋3b|＝＝4. 13．已知△ABC的面积为2，且B＝，则·＝4. [解析]　设△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则S＝acsinB＝ac＝2，即ac＝8， ·＝||||·cos(π－B)＝cacos＝8×＝4. 14．执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值为13. [解析]　第一次执行程序，满足条件x＜2，x＝1＋1＝2；第二次执

8、行程序，不满足条件x＜2，y＝3×22＋1＝13，输出y＝13，结束．答案为13. 15．(2018·聊城一模)观察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝； … 由以上几个等式的规律可猜想f()＋f()＋f()＋…＋f()＝1_009. [解析]　从所给四个等式看：等式右边依次为1，，2，，将其变为，，，，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f()＋f()＋f()＋…＋f()＝＝1 009. B组 1．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为实数，则实数

9、b等于( D ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [解析]　＝＝ ＝， 若其为实数，则有＝0，解得b＝2. 2．(文)(2018·石景山检测)已知复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i，若z是纯虚数，则实数a等于( B ) A．2 B．1 C．0 D．－1 [解析]　∵z为纯虚数，∴∴a＝1. (理)已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( B ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 [解析]　∵z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数， ∴，∴a＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ，4)设非零向量

10、a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( A ) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| [解析]　方法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0. ∴a⊥b. 故选A． 方法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD中，设＝a，＝b， 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，∴|AC|＝|DB| 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故选A． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( B ) A．1

11、 B．2 C．3 D．4 [解析]　输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝＝－，k＝1；第二次循环，a＝＝－2，k＝2；第三次循环，a＝＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B． 5．(2018·潍坊一模)若复数z＝m(m－1)＋(m－1)(m－2)i是纯虚数，其中m是实数，i2＝－1，则等于( D ) A． B．－ C． D．－ [解析]　因为复数z＝m(m－1)＋(m－1)·(m－2)i是纯虚数，所以m(m－1)＝0且(m－1)(m－2)≠0，所以m＝0，则＝＝－. 6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为(

12、 A ) A． B． C．1 D．2 [解析]　由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，于是|a＋b|2＝1，即a2＋2a·b＋b2＝1， 即a·b＝－. |a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝(1＋t2)－2ta·b＝t2＋t＋1≥，故|a－tb|的最小值为. 7．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( C ) A． B． C． D． [解析]　每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝

13、＝＝－， 则＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…(－)＝1－＝.故选C． 8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( C ) A．7 B．12 C．17 D．34 [解析]　由程序框图知， 第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1； 第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2； 第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C． 9．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2

14、的虚部为－1. [解析]　∵z＝1－i(i为虚数单位)， ∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，故其虚部为－1. 10．(文)(2018·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．” 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的乙，丙两人说对了． [解析]　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正

15、确．故答案为乙，丙． (理)(2018·湖北七市联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)； 1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)； 1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)； …… 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*). [解析]　根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) ＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*) 11．(2017·江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是－2. [解析]　输入x＝<1，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2，故输出y的值为－2. 12．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线 与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(－1,0). [解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t. ∵D在圆外，∴t<－1， 又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n， ∴tm＋tn＝λ＋μ， ∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．