（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 第十二单元 直线与圆学案 文

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1、（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 第十二单元 直线与圆学案 文 直线的方程 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为； ③范围：直线l的倾斜角的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α； ②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件

2、 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 1．已知A(m，－2)，B(3,0)，若直线AB的斜率为2，则m的值为(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．2 C．－1或2 D．－2 解析：选B　由直线AB的斜率k＝＝2， 解得m＝2. 2．若经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，

3、则m的取值范围是(　　) A．(5,8) B．(8，＋∞) C. D. 解析：选D　由题意知>1， 即<0，∴5

4、B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 解析：选D　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2. 当y＝0时，x＝. ∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. 5．经过点(－4,1)，且倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的的直线方程为________． 解析：由题意可知，所求直线方程的倾斜角为45°，即斜率k＝1，故所求直线方程为y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0. 答案：x－y＋5＝0 [清易错] 1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． 2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 1．过点(5,1

5、0)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0. 由点到直线的距离公式，得＝5， 解得k＝. 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0 2．经过点A(1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 解析：当直线过原点时，方程为y＝x，即x－y＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a， 把点(1,

6、1)代入直线方程可得a＝2， 故直线方程为x＋y－2＝0. 综上可得所求的直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 答案：x－y＝0或x＋y－2＝0 圆的方程 [过双基] 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圆心：， 半径： 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)

7、2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪ B. C．(－2,0) D. 解析：选D　由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0， 解得－2

8、在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－

9、,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即＝， 解得a＝2，所以圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝＝， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 两条直线的位置关系 [过双基] 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直： ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的

10、斜率为0时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3．距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离 d＝ 　 1．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　) A．－7或－1 B．－7 C．7或1 D．－1 解析：选B　由题意可得a≠－5，所以＝≠，解得a＝

11、－7(a＝－1舍去)． 2．圆x2＋y2－6x－2y＋3＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．－ B．－ C. D．2 解析：选B　圆x2＋y2－6x－2y＋3＝0可化为(x－3)2＋(y－1)2＝7，其圆心(3,1)到直线x＋ay－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－. 3．已知直线l1：(m＋2)x－y＋5＝0与l2：(m＋3)x＋(18＋m)y＋2＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．－6或2 解析：选D　当m＝－18时，两条直线不垂直，舍去； 当m≠－18时，由l1⊥l2， 可得(m＋2)·＝－1，

12、 化简得(m＋6)(m－2)＝0，解得m＝－6或2. 4．若两条平行直线4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0之间的距离等于2，则实数a＝________. 解析：∵两条平行直线的方程为4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0， ∴由平行线间的距离公式可得2＝， 即|－6－a|＝10， 解得a＝4或－16. 答案：4或－16 [清易错] 1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑． 2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错． 1．已知直线l1：x＋(a－2

13、)y－2＝0，直线l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　法一：(1)当直线l1的斜率不存在，即a＝2时，有l1：x－2＝0，l2：2y－1＝0，此时符合l1⊥l2. (2)当直线l1的斜率存在，即a≠2时，直线l1的斜率k1＝－≠0，若l1⊥l2，则必有直线l2的斜率k2＝－，所以·＝－1，解得a＝－1. 综上所述，l1⊥l2⇔a＝－1或a＝2. 故“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 法二：l1⊥l2⇔1×(a－2)＋(a－2)×a＝0

14、， 解得a＝－1或a＝2. 所以“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为＝≠，所以两直线平行．由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为. 直线与圆的位置关系 [过双基] 直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程 观点 Δ0 Δ＝0 Δ0 几何 观点 d＞r dr d＜r 　 1．直

15、线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．随a的变化而变化 解析：选B　因为直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，故直线与圆相交． 2．(2018·大连模拟)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　) A. B．1 C. D. 解析：选D　因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，所以弦长为. 3．已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为_

16、_____；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k的值为________． 解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由＝1，解得k＝±，由切点在第四象限，可得k＝－. 答案：(3,0)　－ 圆与圆的位置关系 [过双基] 圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 　 1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，

17、则实数a＝________. 答案：±2或0 2．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________． 解析：由得x－y＋2＝0. 又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2. 答案：2 一、选择题 1．直线 x＋y－3＝0的倾斜角为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　∵直线x＋y－3＝0可化为y＝－x＋3， ∴直线的斜率为－， 设倾斜角为α，则tan α＝－， 又∵0≤α<π， ∴α＝. 2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，

18、k2，k3，则必有(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析：选D　由图可知k1＜0，k2＞0，k3＞0，且k2＞k3，所以k1＜k3＜k2. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：选B　由得 即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 4．过直线2x－y

19、＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析：选A　设过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点的直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0， 即(2＋λ)x－(1＋λ)y＋4＋5λ＝0， ∵该直线与直线x－2y＝0垂直， ∴k＝＝－2，解得λ＝－. ∴所求的直线方程为x－y＋4＋5×－＝0， 即2x＋y－8＝0. 5．已知直线l1：x＋2y＋t2＝0和直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为(　　) A．1

20、 B. C. D．2 解析：选B　∵直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0， 即x＋2y＋＝0. ∴l1∥l2，∴l1与l2间的距离d＝＝≥，当且仅当t＝时取等号． ∴当l1与l2间的距离最短时t的值为. 6．已知直线l1：(a＋3)x＋y－4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　∵直线l1：(a＋3)x＋y－4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴a＋3＋a－1＝0，解得a＝－1， ∴直线l1：2x＋y－4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是2. 7．一条光线从A处射

21、到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 解析：选B　由题意可得点A关于y轴的对称点A′在反射光线所在的直线上， 又点B(0,1)也在反射光线所在的直线上， 则两点式求得反射光线所在的直线方程为＝，即2x＋y－1＝0. 8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.2＋(y－1)2＝1 解析：选A　由于

22、圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 二、填空题 9．已知直线l过点A(0,2)和B(－，3m2＋12m＋13)(m∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围为________． 解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π， 则tan θ＝＝－(m＋2)2＋≤. 因为θ∈[0，π)，所以θ∈∪. 答案：∪ 10．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为__________． 解析：如图，

23、 把A(－1，－2)，B(2,3)分别代入直线l：x＋y－c＝0，得c的值分别为－3,5. 故若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为[－3,5]． 答案：[－3,5] 11．已知直线x＋y－3m＝0与2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围为________． 解析：联立 解得 ∵两直线的交点在第四象限， ∴>0，且<0， 解得－1

24、___． 解析：因为圆C与两坐标轴相切，且M是劣弧的中点， 所以直线CM是第二、四象限的角平分线， 所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1. 因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1， 所以M， 所以切线方程为y－1＋＝x－＋1， 整理得x－y＋2－＝0. 答案：x－y＋2－＝0 三、解答题 13．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程． 解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点， 由两点式得BC的

25、方程为＝， 即x＋2y－4＝0. (2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)， 则x＝＝0，y＝＝2. BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－， 则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2. 由(2)知，点D的坐标为(0,2)． 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 14．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B. (1)若∠APB＝60°，求

26、点P的坐标； (2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2， 设P(a,2a)，则＝2， 解得a＝2或a＝， 所以点P的坐标为(2,4)或. (2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0， 即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0. 由解得或 所以该圆必经过定点(0,4)和. 高考研究课(一) 直线方程命题4角度——求方程、判位置、定距离

27、、用对称 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 直线方程 5年2考 多与圆、抛物线结合考查 两直线位置关系 未考查 点到直线的距离 5年3考 多与圆结合考查 对称问题 未考查 直线方程的求法 [典例]　(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程． (2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程． [解]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0. (2)当直线不过原点时，设所求直

28、线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. [方法技巧] 求直线方程的2个注意点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．　　 [即时演练] 1．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l

29、的方程为(　　) A．3x－y－5＝0　　　　　 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：选D　当l⊥AB时满足条件． ∵kAB＝＝，则kl＝－3. ∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)， 即3x＋y－13＝0. 2．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为____________． 解析：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)． 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2·＝4，当且

30、仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 两直线的位置关系 [典例]　(1)若直线l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0与l2：2x＋(m＋5)y－8＝0平行，则m的值为(　　) A．－7 B．－1或－7 C．－6 D．－6或－7 (2)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　) A. B．－ C．1 D．－ [解析]　(1)直线l1的斜率一定存在，因为l2：2x＋(m＋5)y－8＝0， 当m＝－5时，l2的斜率不存在，两直线不平行． 当m≠－5时，由l1∥l2，得(m＋3)(m＋5)－

31、2×4＝0， 解得m＝－1或－7. 当m＝－1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m＝－7满足条件，故选A. (2)由已知得tan α＝2，则cos＝sin 2α＝＝＝. [答案]　(1)A　(2)A [方法技巧] 由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　

32、在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答． [即时演练] 1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：选A　依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由点(1,0)在所求直线上，得1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0. 2．若直线l经过点P(1,2)，且垂直于直线2x＋y－1＝0，则直线l的方程是______________． 解析：设垂直于直线2x＋y－1＝0的直线l的方程为x－2y

33、＋c＝0， ∵直线l经过点P(1,2)， ∴1－4＋c＝0，解得c＝3， ∴直线l的方程是x－2y＋3＝0. 答案：x－2y＋3＝0 距离问题 [典例]　(1)过直线x－y＋1＝0与 x＋y－＝0的交点，且与原点的距离等于1的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 (2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程． [解析]　(1)解方程组得 由于2＋2＝1，则所求直线只有1条． [答案]　B (2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l

34、的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在． ∵直线l过点P(2，－5)， ∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)． 即kx－y－2k－5＝0. ∴点A(3，－2)到直线l的距离 d1＝＝， 点B(－1,6)到直线l的距离 d2＝＝. ∵d1∶d2＝1∶2， ∴＝， ∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17. ∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0. 　[方法技巧] 求解距离问题的注意点 解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．　 [即时

35、演练] 1．已知点A(a,2)到直线l：x－y＋3＝0距离为，则a等于(　　) A．1 B．±1 C．－3 D．1或－3 解析：选D　∵点A(a,2)到直线l：x－y＋3＝0距离为， ∴＝， ∴a＋1＝±2. 解得a＝1或－3. 2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为__________． 解析：当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0. 由题意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|， ∴k＝－. ∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0.

36、 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意． 答案：x＝－1或x＋3y－5＝0 对称问题　　　　 　　对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用． 角度一：点关于点对称 1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：选B　依题意a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，由得A(4,8)

37、，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10. [方法技巧] 点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 　　 角度二：点关于线的对称问题 2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是 解得故m＋n＝ [方法技巧] 解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直

38、．　　 角度三：线关于线对称问题 3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (2)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解：(1)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点为M′(a，b)，则 解得M′. 设直线m与直线l的交点为N，则 由得N(4,3)． 又∵m′经过点N(4,3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (2)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则

39、M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. [方法技巧] 若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．　　 角度四：对称问题的应用 4．已知有条光线从点A(－2,1)出发射向x轴上的B点，经过x轴反射后射向y轴上的C点，再经过y轴反射后到达点D(－2，7)． (1)求直线BC的方程； (2)求光线从A点到达D点所经过的路程． 解：作出草图，如图所示， (1)∵A

40、(－2,1), ∴点A关于x轴的对称点A′(－2，－1), ∵D(－2,7), ∴点D关于y轴的对称点D′(2,7). 由对称性可得，A′，D′所在直线方程即为BC所在直线方程， 由两点式得直线BC的方程为＝， 整理得2x－y＋3＝0. (2)由图可得，光线从A点到达D点所经过的路程即为 |A′D′|＝＝4. [方法技巧] 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一

41、个方程，联立求解．　　 1．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 解析：选C　法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M. 设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知＝，即＝，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝3

42、0°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项． 法二：由|AF|＝3|BF|可知＝3，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上， 所以解得x0＝，y0＝±， 所以kl＝＝±. 2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：选B　由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a

43、＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故选B. 一、选择题 1．如果AB＞0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　由AB＞0，BC＜0，可得直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－＜0，直线在y轴上的截距－＞0, 故直线不经过第三象限． 2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析：选B　直线xsin α＋y＋2＝0的斜率为k＝－sin α， ∵－1≤sin α≤1, ∴－1

44、≤k≤1, ∴直线倾斜角的取值范围是∪. 3．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：选B　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1，故|PM|的最小值为1. 4．(2018·郑州质量预测)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　∵ax＋y＋1＝0与(a＋2)x－3y－2＝0垂直， ∴a(a＋2)－3＝0，解得a＝1或a＝－3.

45、 ∴“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件． 5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：选C　∵A(1，－2)和B(m,2)的中点在直线x＋2y－2＝0上， ∴＋2×0－2＝0， ∴m＝3. 6．已知直线l过点P(1,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则当△AOB的面积取得最小值时，直线l的方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 B．x－2y＋3＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋1＝0 解析：选A　由题可知，直线l的斜率k存在，且k<0

46、，则直线l的方程为y－2＝k(x－1)． ∴A，B(0,2－k)， ∴S△OAB＝(2－k)＝≥＝4，当且仅当k＝－2时取等号． ∴直线l的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 7．(2018·豫南九校质量考评)若直线x＋ay－2＝0与以A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C. D．(－∞，－1)∪ 解析：选D　直线x＋ay－2＝0过定点C(2,0)，直线CB的斜率kCB＝－2，直线CA的斜率kCA＝1，所以由题意可得a≠0且－2<－<1，解得a<－1或a>. 8．

47、已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 解析：选D　因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0. 若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0， 则Ax＋By＋C＋k＝0. 因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等， 但在y轴上的截距不相等， 故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行． 因为Ax0＋By0＋C＝k，且k≠0，

48、 所以Ax0＋By0＋C＋k≠0， 所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P，故选D. 二、填空题 9．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－. 答案：－或－ 10．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________________． 解析：由平行关系设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0, 令x＝0，可得y＝－；令y＝0，可得x＝－， ∴－－＝6，解得c＝－， ∴所求直线方程为2x＋3y－＝0, 化为一般式可得1

49、0x＋15y－36＝0. 答案：10x＋15y－36＝0 11．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________． 解析：直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝. 答案： 12．在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是____________． 解析：由题意，直线过定点Q(1，－2)，PQ⊥l时，d取得最大值＝5, 直线

50、l过点P时，d取得最小值0, 所以d的取值范围[0,5]． 答案：[0,5] 三、解答题 13．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)． (1)求方程表示一条直线的条件； (2)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直； (3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值． 解：(1)由解得m＝－1， ∵方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直线， ∴m2－2m－3,2m2＋m－1不同时为0，∴m≠－1. 故方程表示一条直线的条件为m≠－1. (2)∵方程表示的直线与x轴垂直， ∴解得

51、m＝. (3)当5－2m＝0，即m＝时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0； 当m≠时，由＝，解得m＝－2. 故实数m的值为或－2. 14．已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P. (1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程； (2)若直线l1过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程． 解：(1)由得即交点P(2,1)． 由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点． ①由l∥AB，得kl＝kAB＝＝－， 所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，

52、 即x＋2y－4＝0， ②由l过AB的中点得l的方程为x＝2， 故x＋2y－4＝0或x＝2为所求． (2)法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0. 则直线l1的方程为y＝k(x－2)＋1＝kx－2k＋1. 令x＝0，得y＝1－2k＞0， 令y＝0，得x＝>0， ∴S△ABO＝×(1－2k)×＝4，解得k＝－， 故直线l1的方程为y＝－x＋2，即x＋2y－4＝0. 法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a，b存在，且a＞0，b＞0，则l1：＋＝1. 又l1过点(2,1)，△ABO的面积为4， ∴解得 故直线l1的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 1．设

53、m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则△PAB的面积最大值是(　　) A．2 B．5 C. D. 解析：选C　由题意可知，动直线x＋my＝0过定点A(0,0)． 动直线mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋3－y＝0， 因此直线过定点B(1,3)． 当m＝0时，两条直线分别为x＝0，y＝3，交点P(0,3)， S△PAB＝×1×3＝. 当m≠0时，两条直线的斜率分别为－，m， 则－·m＝－1，因此两条直线相互垂直． 当|PA|＝|PB|时，△PAB的面积取得最大值． 由|PA|＝|AB|＝

54、＝， 解得|PA|＝. ∴S△PAB＝|PA|2＝. 综上可得，△PAB的面积最大值是. 2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) 解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得，即(4，－2)． ∴直线BC所在方程为y－1＝(x－3)， 即3x＋y－10＝0. 联立解得可得C(2,4)． 3．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小

55、的点的坐标是________． 解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求． ∵kAC＝＝2， ∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.① 又∵kBD＝＝－1， ∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.② 由①②得∴即M(2,4)． 答案：(2,4) 高考研究课(二) 圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹 [全国卷5年命题分析] 考

56、点 考查频度 考查角度 圆的方程 5年4考 求圆的方程及先求圆的方程再考查应用 与圆有关的最值问题 5年1考 求范围 与圆有关的轨迹问题 未考查 圆的方程　　　　 圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量. (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. [典例]　求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程． [解]　法一：用“几何法”解题 由题意知kAB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)， ∵圆过A(5,

57、2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上． 则解得∴C(2,1)， ∴r＝|CA|＝＝. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：用“代数法”解题 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法三：用“代数法”解题 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得 ∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. [方法技巧] 求圆的方程的方法 (1)方程选择原则 若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程．

58、 (2)求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．　　 [即时演练] 根据下列条件，求圆的方程． (1)已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)． 解：(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为. 由题意可得解得 所以圆的方程为

59、x2＋y2＋6x＋4y－12＝0. 法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)， 所以线段AB的中点D的坐标为， 直线AB的斜率kAB＝＝1， 因此线段AB的垂直平分线的方程是 y＋＝－，即x＋y＋5＝0. 则圆心C的坐标是方程组的解， 解得所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径长r＝|AC|＝＝5， 所以圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. (2)法一：如图，设圆心坐标为(x0，－4x0)，依题意得＝1， ∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2

60、， 根据已知条件得 解得 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 与圆有关的最值问题　　　　 　　与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)距离和(差)的最值问题； (5)三角形的面积的最值问题． 角度一：斜率型最值问题 1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)为圆心，为半径的圆． 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设＝k

61、，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值， 此时＝， 解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. 角度二：截距型最值问题 2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值． 解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. 角度三：距离型最值问题 3．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．25 C．26 D

62、．36 解析：选D　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方，又点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5， 则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36. 角度四：距离和(差)的最值问题 4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5－4　　　　　　　　B.－1 C．6－2 D. 解析：选A　圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C1′

63、(2，－3)，连接C1′C2与x轴交于点P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C1′C2|－1－3＝5－4. 角度五：三角形的面积的最值问题 5．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　) A．2，(4－) B.(4＋)，(4－) C.，4－ D.(＋2)，(－2) 解析：选B　直线AB的方程为＋＝1， 即2x－y＋2＝0， 圆心(1,0)到直线AB的距离d＝＝，则点P到直线AB的距离最大值为＋1，最小值为－1， 又|AB|＝，则(S△PAB)max＝××＝(4＋)，(S△PAB)mi

64、n＝××＝(4－)，故选B. [方法技巧] 求解与圆有关的最值问题的2大规律 (1)借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用基本不等式法、参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．　　 与圆有关的轨迹问题 [典例]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点

65、的轨迹方程． [解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种常用方法 直接法

66、 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 [即时演练] 1．(2018·唐山调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：选A　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 2．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：选D　设P(x，y)，则由题意知，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)、半径为1，∵PA是圆的切线，且|PA|＝1，∴|PC|＝，即(x－1)2＋y2＝2，∴点P的轨迹方