（新课标）2022高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 题组层级快练7 函数的奇偶性与周期性 文（含解析）

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1、（新课标）2022高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 题组层级快练7 函数的奇偶性与周期性 文（含解析） 1．(2019·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x3　　　　　　　　 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 答案　B 解析　因为y＝x3是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y＝－x2＋1，y＝2－|x|＝()|x|在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C，D两项错误，只有选项B正确． 2．函数f(

2、x)＝x＋(x≠0)是(　　) A．奇函数，且在(0，3)上是增函数 B．奇函数，且在(0，3)上是减函数 C．偶函数，且在(0，3)上是增函数 D．偶函数，且在(0，3)上是减函数 答案　B 解析　因为f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋为奇函数．当x1，x2∈(0，3)(x10，x1x2<9，所以(x1－x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，3)上是减函数，故选B. 3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则

3、g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案　A 解析　由于f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以b＝0，所以g(x)＝2ax3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax3＋9x是奇函数．故选A. 4．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　) A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) D．x(1＋x) 答案　B 解析　当x<0时，则－x>0，∴f(－

4、x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 5．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 答案　A 6．(2019·山东临沭一中月考)已知定义在R上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝(　　) A．－3 B．0 C．1 D．3 答案　B 解析　用－x换x，可将f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)， ∴T＝6，∴f(2 0

5、19)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0. 7．若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)的大小关系是(　　) A．f(2 015)f(2 016)>f(2 017) C．f(2 016)>f(2 015)>f(2 017) D．f(2 016)

6、＝－f(x)成立，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2 015)

7、e－1 C．－1－e D．e＋1 答案　A 解析　y＝f(x－1)的图像关于(1，0)点对称，则f(x)关于原点对称．当x≥0时恒有f(x－)＝f(x＋)，即函数f(x)的周期为2.所以f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A. 9．(2019·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]

8、．记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A. 10．(2019·北京大兴期末)给出下列函数： ①f(x)＝sinx；②f(x)＝tanx；③f(x)＝④f(x)＝则它们共同具有的性质是(　　) A．周期性 B．偶函数 C．奇函数 D．无最大值 答案　C 解析　f(x)＝sinx为奇函数，周期为2π且有最大值； f(x)＝tanx为奇函数且周期为π，但无最大值； 作出f(x)＝的图像(图略)，由图像可知此函数

9、为奇函数但无周期性和最大值； 作出f(x)＝的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值． 所以这些函数共同具有的性质是奇函数． 11．如果函数g(x)＝是奇函数，那么f(x)＝________． 答案　2x＋3 解析　令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x－3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，所以f(x)＝2x＋3. 12．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________． 答案　－1 解析　令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0

10、，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 13．(1)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________． (2)(2019·成都一诊)已知函数f(x)＝是奇函数，则实数a的值为________． (3)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________． (4)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________． 答案　(1)　(2)2　(3)1　(4)0 解析　(1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝. (2)方法一：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即2－a＝0，解

11、得a＝2. 方法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，即x＋2－a－x＋2－a＝0，解得a＝2. (3)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，则ln(x＋)＋ln(－x)＝0，∴ln[()2－x2]＝0，得lna＝0，∴a＝1. (4)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x－a|＝|x＋a|，两边平方得4ax＝0.∴a＝0.故填0. 14．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________． 答案　(－2，) 解析　易知原函数在R上单调递增

12、，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0⇒f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2<－x⇒mx＋x－2<0对所有m∈[－2，2]恒成立． 令g(m)＝xm＋x－2，此时只需即可， 解得－2

13、图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1

14、都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求： (1)f(0)与f(2)的值； (2)f(3)的值； (3)f(2 013)＋f(－2 014)的值． 答案　(1)f(0)＝0，f(2)＝0　(2)f(3)＝－1　(3)1 解析　(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1. (3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数． 因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.