2017-2018学年高中数学 第3章 概率 1 随机事件的概率教学案 北师大版必修3

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1、 1 随机事件的概率 [核心必知] 1．概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)． 2．频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值． 3．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就

2、能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生． 4．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生． [问题思考] 1．把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么说此次试验正面朝上的频率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，这样理解正确吗？ 提示：正确．由题意，正面朝上的频率为＝0.498，通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次

3、硬币，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关． 2．如果某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能够治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3? 提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈． “治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就

4、可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈． 讲一讲 1.下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率． 实验序号 抛掷的次数n 正面向上的次数m “正面向上”出现的频率 1 500 251 2 500 249 3 500 256 4 500 253 5 500 251 6 500 246 7 500 244 8 500 258 9 500 262 10 500 247

5、 [尝试解答]　利用频率的定义，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为： 0．502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5. 频数、频率和概率三者之间的关系： (1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现； (2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化． 练一练

6、 1．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 进球次数m 6 8 9 7 7 12 进球频率 (1)计算表中进球的频率； (2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少？ 解：(1)进球的频率依次是：0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76. 讲一讲 　2.掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？ [尝试解答]　把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次

7、试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的．这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点．所以掷一颗骰子得到6点的概率是，并不意味着把它掷6次能得到1次6点． 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数没有关系． 练一练 2．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？ 解：不正确．掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都

8、为.连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面和反面的可能性还是，不会大于. 讲一讲 3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量． [尝试解答]　设保护区中天鹅的数量为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则

9、P(A)＝. 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈. 所以，≈，解得n≈1 500， 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500. 利用频率近似等于概率的关系求未知量： (1)抽出m个样本进行标记，设总体容量为n，则标记概率为； (2)随机抽取n1个个体，发现其中m1个被标记，则标记频率为； (3)用频率近似等于概率建立关系式≈； (4)求出n≈，注意这个n值仅是真实值的近似． 练一练 3．为了估计水库中的鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000条，给每条鱼作上记号且不影响其存活，然后放回水库．

10、经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条．试根据上述数据，估计水库中鱼的条数． 解：设水库中鱼的条数为n，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的概率为.第二次从水库中捕出500条，带有记号的鱼有40条，则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为，由≈，得n≈25 000，所以水库中约有鱼25 000条． 【解题高手】【易错题】 一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查，发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右．如果这个调查继续做下去，10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而

11、改变)．你觉得这种看法对吗？说出你的理由． [错解]　这种看法是正确的，10年后发生事故的频率等于0.001. [错因]　频率会在某个常数附近摆动，随着试验次数的增加，摆动会越来越小，但不一定等于该常数． [正解]　这种看法是错误的．随着试验次数的增加，频率会稳定于一个常数附近，这个常数就是概率，但稳定于不一定是等于，况且0.001未必是出租车发生事故的概率． 1．下列事件： ①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②经过有信号灯的路口，遇上红灯； ③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品； ④下周六是晴天． 其中，是随机事件

12、的是(　　) A．①②　　B．②③ C．③④ D．②④ 解析：选D ①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件． 2．在某市的天气预报中有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指(　　) A．明天该地区约有90%的地方会降水，其余地方不降水 B．明天该地区约有90%的时间会降水，其余时间不降水 C．在气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水 D．明天该地区降水的可能性为90% 解析：选D 明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%. 3．在5张不同的彩票中

13、有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，则每个人抽到奖票的概率(　　) A．递减 B．递增 C．相等 D．不确定 解析：选C 因为每个人获得奖票的概率均为，即抽到奖票的概率与抽取顺序无关． 4．下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．(填序号) 答案：③　⑤　①②④ 5．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1

14、000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率是________． 解析：由频率定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，频率约为概率． 答案：0.4 6．某质检员从一批种子中抽取若干组种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下(单位：粒)： 种子粒数 25 70 130 700 2 000 3 000 发芽粒数 24 60 116 639 1 806 2 713 发芽率 (1)计算各组种子的发芽率，填入上表；(精确到0.01) (2)

15、根据频率的稳定性估计种子的发芽率． 解：(1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90. (2)由(1)知，发芽率逐渐稳定在0.90，因此可以估计种子的发芽率为0.90. 一、选择题 1．“某彩票的中奖概率为”意味着(　　) A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为 答案：D 2．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较(　　) A

16、．第一次准确 B．第二次准确 C．两次的准确率相同 D．无法比较 解析：选B 用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确． 3．下列结论正确的是(　　) A．事件A发生的概率P(A)满足0＜P(A)＜1 B．事件A发生的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的500 名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76% D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖 解析：选C A不正确，因为0≤P(A)≤1；B不正确，若事件A是必然事件，

17、则P(A)＝1；D不正确，某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖，但不一定会发生． 4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为(　　) ①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，则硬币出现正面朝上的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：选A ①②③均不正确． 5．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是(　　) A．100个手术有99个手术成功

18、，有1个手术失败 B．这个手术一定成功 C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术 D．这个手术成功的可能性是99% 解析：选D 成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%. 二、填空题 6．一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球________个． 解析：100×＝75. 答案：75 7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，

19、不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10； 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10. 答案：③④　②　① 8．下列说法： ①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是； ②甲乙两人做游戏：抛一枚骰子，向上的点数是奇数，甲胜，向上的点数是偶数，乙胜，这种游戏是公平的； ③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；

20、 ④昨天没有下雨，则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的． 其中正确的有________(填序号)． 解析：对于②，甲胜、乙胜的概率都是，是公平的；对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误． 答案：①②③ 三、解答题 9．高一(2)班有50名同学，其中男、女各25人，今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学，试问：碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大？有人说可能性一样大，这种说法对吗？ 解：这种说法不正确．这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个，其中碰到同性同学有24种可能，碰到异性同学有25种可能，每

21、碰到一个同学相当于做了一次试验，因为每次试验的结果是随机的，所以碰到异性同学的可能性大，碰到同性同学的可能性小． 10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [500，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率． 解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042. (2)样本中寿命不足1 500小时的频数是 48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. - 8 -