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1、2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.1 配方法 专题（讲）理
一、配方法的定义：配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一.
二、配方法的基本步骤：配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二
2、次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.如：
三、常见的基本配方形式
可得到各种基本配方形式，如： ；
；
；
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
；
。
本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1 配方法与函数
二次函数或通过换元能化为二次函数的函数均可用配方法求其最值.在换元的过程中要注意引入参数的取值范围。
例1.【xx高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
3、C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由题意知，最小值为.
令，则，
当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；
当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．
例2．【xx届浙江省台州中学高三上学期第三次统练】已知函数．
（1）当时，若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）若为正整数，方程的两个实数根满足，求的最小值．
【答案】（1）或；（2）11．
试题解析：（1）当时，
由题意可知， 在上有两个不等实根，或在上有两个不等实根，则或,
解得或
4、即实数的取值范围是或.
（2）设，则由题意得，即 ，
所以，由于
①当时， ，且无解，
②当时， ，且，于是无解，
③当时， ，且，由，得，此时有解，
综上所述， ，当时取等号，即的最小值为11．
2 配方法与三角函数
在三角函数中，同角三角函数基本关系式中的平方关系及其变形
、二倍角公式及其变形为考察配方法提供了平台，
例3.【xx届宁夏银川一中高三上学期第二次月考】函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值为________．
【答案】-2
【解析】 ，所以当 时， 取最小值
3配方法与解三角形
在解三角形中，余弦定理为考察配方法提供了平台，因为
5、对于三角形的三边，如果能用一个变量给表示出来，就可以转化为二次函数问题，可以通过配方法来解。
例4.【xx届河北省石家庄市二模】在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为， ， ，其面积，这里．已知在中， ， ，其面积取最大值时__________．
【答案】
4 配方法与平面向量
例5.【xx届山东省德州市高三上学期期中】已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）当时， (为实数），且，试求的最小值.
【答案】(1) 或;(2) .
【解析】试题分析：（1）由可得，整理得，解方程可得的值；（2）由可得，根
6、据数量积的计算并将代入整理得，因此，结合二次函数最值的求法可得最小值为。
试题解析：
（1）∵，
∴，
整理得，
解得或.
∴或。
（2）∵，
∴，
即
当时， ，
∴
式化简得
∴，
∴当时， 取得最小值，且最小值是.
5配方法与不等式
例6.【xx年高考二轮】已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】 ∵|y＋4|－|y|≤|y＋4－y|＝4，
∴(|y＋4|－|y|)max＝4，要使不等式对任意实数x，y都成立，应
7、有2x＋≥4，
∴a≥－(2x)2＋4×2x＝－(2x－2)2＋4，
令f(x)＝－(2x－2)2＋4，则a≥f(x)max＝4，∴a的最小值为4，故选D.
6 配方法与导数
例7.【xx届广东省深圳市高级中学高三11月考】设和是函数的两个极值点,其中.
(1)求的取值范围;
(2)若,求的最大值.
【答案】(1) . (2)
试题解析：
(1)函数的定义域为
因为
所以.
由题意得方程有两个不等的正根m,n(其中).
故,且.
所以
即的取值范围是.
(2)当时, .
设,
则,
于是有,
所以
,
令,
则.
所
8、以在上单调递减,
所以.
故的最大值是。
7 配方法与数列
例 8.数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为( )
A．0 B．4 C.3(13) D.3(16)
【答案】A
【解析】 因为an＝－3＋4(3)，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.
8 配方法与立体几何
例9.已知菱形ABCD的边长为3(3)，∠
9、ABC＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折成如图所示的四面体，点M为AC的中点，∠BMD＝60°，P在线段DM上，记DP＝x，PA＋PB＝y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
【答案】D
【解析】由题意可知AM＝AB＝，BM＝MD＝1，∵DP＝x，∴MP＝1－x，
在Rt△AMP中，PA＝＝，
在△BMP中，由余弦定理得PB＝＝，
∴y＝PA＋PB＝＋＝＋(0≤x≤1)
∵当0≤x≤时，函数y单调递减，当x≥1时，函数y单调递增，∴对应的图象为D.
9 配方法与解析几何
例10.已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且．
（1）求证：点共线；
（2）若，当时，求动点的轨迹方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）设，则，
因为，所以，又，所以
因为，，
且，
所以，又都过点，所以三点共线．
【反思提升】综合上面的九种类型，配方法在高考题目中频繁出现，配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.主要用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解以及与最值一类有关的问题中.对于应用配方法的意识在于平时的训练与积累。
2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.1 配方法 专题（讲）理
