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1、（山东滨州专用）2022中考数学 要题加练2
1．(xx·丽水中考)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半径．
2．(xx·云南中考)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．
2、
3．(xx·呼和浩特中考)如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值．
4.如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
(1)求证：AC·AD＝AB·AE；
(2)如果BD是⊙O的切线，点D是切点，点E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．
5．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙
3、O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：CE2＝EH·EA；
(3)若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．
参考答案
1．(1)证明：如图，连接OD.
∵OB＝OD，∴∠3＝∠B.
∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.
在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，
∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，
∴OD⊥AD，∴AD是⊙O的切线．
(2)解：设⊙O的半径为r.
在Rt△ABC中，AC＝BC·tan B＝4，
根据勾股定理得AB＝＝4，
∴OA
4、＝4－r.
在Rt△ACD中，tan∠1＝tan B＝，
∴CD＝AC·tan∠1＝2.
根据勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，
即(4－r)2＝r2＋20，
解得r＝.
即⊙O的半径为.
2．(1)证明：如图，连接OC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.
∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r.
∵∠D＝30°，∠O
5、CD＝90°，
∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，
∴BC＝2，∴由勾股定理可知AC＝2，
易求S△AOC＝×2×1＝，
S扇形OAC＝＝，
∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝－.
3．(1)证明：如图，连接OD，OP.
∵＝，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3.
∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.
∵OP＝OP，OD＝OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP＝∠OCP.
∵BC⊥AC，
∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O
6、的切线．
(2)解：如图，连接CD.设⊙O的半径为R，
由(1)可知PC＝PD.
∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R.
在Rt△AOD中，OD2＋AD2＝OA2，
∴R2＋122＝9R2，∴R＝3，
∴OD＝3，MC＝6.
∵＝＝，∴DP＝6.
∵点O是MC的中点，∴＝＝，
∴点P是BC的中点，∴BP＝CP＝DP＝6.
∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°.
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，
∴BM＝6.
∵△BCM∽△CDM，
∴＝，即＝，
∴MD＝2，∴＝＝.
4．(1)证明：如图，连接DE.
∵AE是直径，∴∠ADE＝9
7、0°，∴∠ADE＝∠ABC.
∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝，∴AC·AD＝AB·AE.
(2)解：如图，连接OD.
∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.
在Rt△OBD中，OE＝BE＝OD，
∴OB＝2OD，∴∠OBD＝30°，
同理∠BAC＝30°.
在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4.
5．(1)证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC.
∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB＋∠DBF＝90°，∴∠ABC＋∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线．
(2)证明：如图，连接AC.
∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB.
∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，
∴＝，∴CE2＝EH·EA.
(3)解：如图，连接BE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB·sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8.
∵＝，∴BE＝CE＝6.
∵CE2＝EH·EA，
∴EH＝＝.
在Rt△BEH中，BH＝＝＝.
（山东滨州专用）2022中考数学 要题加练2
