（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 新人教A版必修2

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1、（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 新人教A版必修2 学习目标　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 知识点一　三角函数的定义域 思考　正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z? 答案　当x＝kπ＋，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在．所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z. 梳理　正弦函数

2、y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是. 知识点二　三角函数线 思考1　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？ 答案　 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 思考2　三角函数线的方向是如何规定的？ 答案　 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3　三角函数线的长度和方向各表示什么？ 答案

3、　 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理　 图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 1．正弦线MP也可写成PM.(　×　) 提示　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒． 2．三角函数线都只能取非负值．(　×　) 提示　三角函数线表示的值也可取负值． 3．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线

4、不存在．(　√　) 4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(　√　) 类型一　三角函数线 例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线． 考点　单位圆与三角函数线 题点　三角函数线的作法 解　如图所示， sin＝MP， cos＝OM， tan＝AT. 反思与感悟　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT. 跟踪训练1　在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α

5、的取值集合． 考点　单位圆与三角函数线 题点　三角函数线的作法 解　已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为. 类型二　利用三角函数线比较大小 例2　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线比较大小 解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， ∴sin>sin； |OM|<|O

6、M′|，符号皆负， ∴cos>cos； |AT|>|AT′|，符号皆负， ∴tan

7、46°的正弦线M1P1，M2P2. ∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)． 类型三　利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1　利用三角函数线解不等式(组) 例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥； (2)cos α≤－. 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为. (

8、2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为. 反思与感悟　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间． 跟踪训练3　已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即. 命题角度2　利用三角函数线求三角

9、函数的定义域 例4　求函数y＝lg＋的定义域． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 解　由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴. 反思与感悟　(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 跟踪训练4　求函数f(x)＝的定义域． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数

10、线解不等式 解　要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0， 则sin x≥. 如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝， 交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2， 分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线， 易知这两条正弦线的长度都等于. 在[0,2π)内，sin＝sin＝. 因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)， 所以函数f(x)的定义域为. 1.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线为PM，正切线为A′T′ B．正弦线为MP，正切线为A′T′ C．正弦线为MP，

11、正切线为AT D．正弦线为PM，正切线为AT 考点　单位圆与三角函数线 题点　三角函数线的作法 答案　C 2．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　) A．cos α

12、线AT，则OM

13、三角函数线 题点　三角函数线的作法 答案　C 解析　由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在第二、四象限的角平分线上． 5．(2017·九江检测)解不等式3tan α>－. 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 解　要使3tan α>－，即tan α>－. 由正切线知－＋kπ<α<＋kπ，k∈Z. 所以不等式的解集为，k∈Z. 1．三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一

14、致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒． 3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了．

15、 一、选择题 1．函数y＝tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 考点　正切函数的定义域、值域 题点　正切函数的定义域 答案　C 解析　∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z. 2．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　) A．a

16、余弦线，那么下列结论正确的是(　　) A．MPOM>0 D．OM>MP>0 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线比较大小 答案　D 解析　0<<，作三角函数线可知OM>MP>0. 4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 答案　D 解析　角α的取值范围为图中阴影部分， 即∪. 5．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等． 其中正确说法的个数为

17、(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 考点　单位圆与三角函数线 题点　三角函数线的作法 答案　C 解析　和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C. 6．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线比较大小 答案　D 解析　因为＜3＜π，作出单位圆如图所示． 设MP，OM分别为a，b. sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0， 所以sin 3－cos 3＞0

18、. 因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|， 所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0. 故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限． 7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　) A．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线比较大小 答案　D 解析　如图(1)，α，β的终边分别为OP，OQ，sin α＝MP>NQ＝sin

19、β，此时OMNQ，即sin α>sin β，所以ACNQ，即sin α>sin β，所以OMtan β，故选D. (1) 二、填空题 8．函数y＝的定义域为________． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 答案　(k∈Z) 9．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系

20、是________． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线比较大小 答案　cos 1sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是________________． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 答案　(k∈Z) 解析　因为cos θ>sin ， 所以cos θ>sin＝sin ＝， 易知角θ的取值范围是(k∈Z)． 11．函数f(x)＝的定义域为_

21、_______． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 答案　(k∈Z) 解析　如图所示． 三、解答题 12．已知－≤sin θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 解　由三角函数线可知 sin ＝sin ＝， sin ＝sin＝－， 且－≤sin θ<， 如图，画出单位圆，阴影部分即为所求． 故θ的取值集合是∪(k∈Z)． 四、探究与拓展 13．函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域为________． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解

22、不等式 答案　 解析　由题意可知，要使函数有意义，则需 如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为. 14．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2，求θ的范围． 考点　单位圆与三角函数线 题点　利用三角函数线解不等式 解　∵方程有两实根， ∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0， ∴cos θ≥－.① ∵|α－β|≤2，∴(α＋β)2－4αβ≤8. 由根与系数的关系，得 α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos2θ， ∴4(cos θ＋1)2－4cos2θ≤8，即cos θ≤.② 由①②得－≤cos θ≤， 利用单位圆中的三角函数线可知＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z或＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z. ∴＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z. 即θ的范围是(k∈Z)．