（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直学案 新人教B版必修2

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1、（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直学案 新人教B版必修2 学习目标　1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题． 知识点一　直线与平面垂直的定义及性质 (1)直线与直线垂直 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． (2)直线与平面垂直的定义及性质 定义及符号表示 图形语言及画法 有关名称 重要结论 如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直．我

2、们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α 把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边垂直 直线AB：平面α的垂线；平面α：直线AB的垂面；点O：垂足；线段AO：点A到平面α的垂线段；线段AO的长：点A到平面α的距离 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直 知识点二　直线和平面垂直的判定定理及推论 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系． 思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？ 答案　不一定． 思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ 答案　当

3、AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直． 梳理　直线与平面垂直的判定定理及推论 定理及推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 条件：一条直线与平面内的两条相交直线垂直， 结论：这条直线与这个平面垂直 ⇒a⊥α 推论1 条件：两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 结论：另一条直线也垂直于这个平面 ⇒m⊥α 推论2 条件：两条直线垂直于同一个平面， 结论：这两条直线平行 ⇒l∥m 1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　×　) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　×　)

4、3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(　×　) 类型一　直线与平面垂直的判定 例1　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC. 证明　∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 引申探究　若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC. 证明　由例1知BC⊥平面PAC， 又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面PBC. 反思与感悟　利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步

5、骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直． (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线． (3)根据判定定理得出结论． 跟踪训练1　如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明　(1)因为SA＝SC，D为AC的中点， 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， 又因为SB＝SA，SD＝SD， 所以△ADS≌BDS. 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以B

6、D⊥AC. 又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 所以BD⊥平面SAC. 类型二　线面垂直的性质的应用 例2　如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又

7、∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 反思与感悟　平行关系与垂直关系之间的相互转化 跟踪训练2　如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明　因为EA⊥α，α∩β＝l， 即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB， 又EA∩EB＝E， 所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β， 所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l. 类型三　线面垂直的综合应用 例3　如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，P

8、C的中点，求证：MN⊥CD. 证明　如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 因为N为PC的中点， 则NE∥CD，NE＝CD， 又因为AM∥CD，AM＝CD， 所以AM∥NE，AM＝NE， 即四边形AMNE是平行四边形， 所以MN∥AE. 因为PA⊥矩形ABCD所在平面， 所以PA⊥CD， 又四边形ABCD为矩形， 所以AD⊥CD，又PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以CD⊥AE，所以MN⊥CD. 反思与感悟　若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，

9、证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质． 跟踪训练3　如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证： (1)DF∥平面ABC； (2)AF⊥BD. 证明　(1)取AB的中点G，连接FG，CG， 可得FG∥AE，FG＝AE. ∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC， ∴CD∥AE. 又∵CD＝AE， ∴FG∥CD，FG＝CD. ∴FG⊥平面ABC， ∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG. 又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC， ∴DF∥平面ABC. (2)在Rt△ABE中，∵AE＝A

10、B，F为BE的中点， ∴AF⊥BE. ∵△ABC是正三角形， ∴CG⊥AB，∴DF⊥AB. ∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC， ∴AE⊥CG，∴AE⊥DF. 且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE， ∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF. ∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE， ∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD. 1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 答案　A 解析　由线面垂直的判定定理知，

11、直线垂直于①③图形所在的平面．而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直． 2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 答案　B 解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. 3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 答案　D

12、 解析　由直线与平面垂直的判定定理的推论1知，选项D正确． 4.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________． 答案　垂直 解析　∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD， 故直线AB与CD确定一个平面． ∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF， 又BD⊥EF，AB∩BD＝B， ∴EF⊥平面ABDC. ∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF. 5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 证明　∵ABCD为正方形， ∴AC

13、⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O， 又EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC， ∴EF⊥平面BB1O. 1．直线与平面垂直的判定方法： (1)利用定义； (2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线． 2．对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解： (1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据． 一、选择题 1．若三条直线OA，OB，OC两两垂

14、直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 答案　C 解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O， ∴OA⊥平面OBC. 2．直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是(　　) A．a⊥β B．a∥β C．a⊂β D．a⊂β或a∥β 答案　D 解析　若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b； 若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c⊂β， 则b⊥c，a∥c， 于是b⊥a.故答案为D. 3．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　) A．垂直且相交 B．相交

15、但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案　C 解析　如图，取BD中点O， 连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O， ∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC， 又BD与AC异面，故选C. 4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 答案　B 解析　易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC. 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点．现沿AE，AF，EF把这个正方形

16、折成一个几何体，使B，C，D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(　　) A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFG C．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF 答案　A 解析　∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G， ∴AG⊥平面EFG. 6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是(　　) A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG 答案　C 解析　由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF， ∴PG最短，PF

17、C所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 答案　A 解析　由PA，PB，PC两两垂直可得PA⊥平面PBC；PB⊥平面PAC；PC⊥平面PAB， 所以PA⊥BC； PB⊥AC；PC⊥AB，①②③正确．④错误． 因为若AB⊥BC，则由PA⊥平面PBC，得PA⊥BC， 又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB， 又PC⊥平面PAB， 这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾． 二、填空题 8．已知直线l，a，b，

18、平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________________． 答案　a与b相交 9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______. 答案　90° 解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M. 又C1M⊂平面C1B1M， ∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°. 10.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为______

19、__． 答案　4 解析　⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 11．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形) 答案　BD⊥AC(答案不唯一) 解析　要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1C⊥B1D1，可从结论A1C⊥B1D1入手． ∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，∴A1C⊥BD. 又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1⊂平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1

20、AC，∴BD⊥AC.此题答案不唯一． 三、解答题 12.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点． 证明　(1)∵ADD1A1为正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC， ∴MN∥AD1. (2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON綊CD綊AB， ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA， ∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝

21、AM. ∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点． 13．如图所示，在△ABC中，∠ABC为直角，P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB. 解　因为CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B， 所以CB⊥平面APB. 过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB， 所以ME⊥AB. 若MN⊥AB，因为ME∩MN＝M， 则AB⊥平面MNE，所以AB⊥EN. 取AB中点D，连接PD， 因为PA＝PB，所以PD⊥AB， 所以NE∥PD. 又M为PC的中点，ME∥BC， 所以E为PB的中点． 因为EN∥

22、PD，所以N为BD的中点， 故当N为AB的四等分点(AN＝3BN)时，MN⊥AB. 四、探究与拓展 14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD， ∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3， ∴AD＝4. 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4， ∴PD＝＝4. 15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90

23、°，AA1＝，D是A1B1的中点． (1)求证C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． 证明　(1)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求． ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF. ∵AA1＝A1B1＝， ∴四边形AA1B1B为正方形． 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1， ∴F为BB1的中点， ∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.