（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 集合 3.2 全集与补集学案 北师大版必修1

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1、（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 集合 3.2 全集与补集学案 北师大版必修1 学习目标　1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题． 知识点一　全集 (1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素． (2)记法：全集通常记作U. 知识点二　补集 思考　实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？ 答案　剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}． 梳理　补集的概念 文字语言 设U是全集，A是U的一个子

2、集(即A⊆U)，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A 1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．(　√　) 2．存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(　×　) 3．设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.(　×　) 4．设全集U＝，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则∁UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0)}.(　×　) 类型一　求补集 例1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈

3、R|－2≤x≤0}，则∁UA等于(　　) A．{x|0

4、7,8}． (3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)． 考点　补集的概念及运算 题点　无限集合的补集 解　根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， ∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}． 反思与感悟　求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解． 跟踪训练1　(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________. 考点　补集的概念及运算 题点　有限集合的补集 答案　

5、{3,4,5} (2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁UA＝________. 考点　补集的概念及运算 题点　无限集合的补集 答案　{x|－10}，则∁UA＝________. 考点　补集的概念及运算 题点　无限集合的补集 答案　{(x，y)|xy≤0} 类型二　补集性质的应用 命题角度1　补集性质在集合运算中的应用 例2　已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B. 考点　补集的概念及运算 题点

6、　有限集合的补集 解　∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}， ∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}． 而∁UB＝{－1,0,2}， ∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}． 反思与感悟　从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于(∁UA)∩A＝∅，(∁UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推． 跟踪训练2　如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________. 考点　补集的概念及运算 题点　无限集合的补集

7、 答案　{x|0≤x≤1或x＞2} 解析　A∩B＝{x|1

8、感悟　运用补集思想求参数取值范围的步骤 (1)把已知的条件否定，考虑反面问题． (2)求解反面问题对应的参数的取值范围． (3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集． 跟踪训练3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 考点　交并补集的综合问题 题点　与交并补集运算有关的参数问题 解　假设集合A中含有2个元素， 即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根， 则解得a<且a≠0， 则集合A中含有2个元素时， 实数a的取值范围是. 在全集U＝R中，集合的补集是， 所以满足题意的实数a的取值范围是. 类型三　集合的综合运算 例4

9、　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁UP)∪Q等于(　　) A．{1} B．{3,5} C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5} 考点　交并补集的综合问题 题点　有限集合的交并补运算 答案　C 解析　∵∁UP＝{2,4,6}，∴(∁UP)∪Q＝{1,2,4,6}． (2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________． 考点　交并补集的综合问题 题点　无限集合的交并补运算 答案　{a|a≥2} 解析　∵∁RB＝{x|x<1或x>2

10、}且A∪(∁RB)＝R， ∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2. 即实数a的取值范围是{a|a≥2}． 反思与感悟　解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴． 跟踪训练4　(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,7}，A∩ (∁UB)＝{4,9}，则B等于(　　) A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8} C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9} 考点　交并补集的综合问题 题点　有限集合的交并补运算 答案　B

11、解析　根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B. (2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

12、＝{x|2－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　) A．{

13、x|－2

14、合的交并补运算 答案　B 1．全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系． 2．补集思想 做题时“正难则反”策略运用的

15、是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A，求A. 一、选择题 1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(　　) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 考点　交并补集的综合问题 题点　有限集合的交并补运算 答案　C 解析　∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}，故选C. 2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于(　　) A．{－2，－1} B．{－2}

16、C．{－1,0,1} D．{0,1} 考点　并交补集的综合问题 题点　有限集合的并交补运算 答案　A 解析　因为集合A＝{x|x＞－1}， 所以∁RA＝{x|x≤－1}， 则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}． 3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于(　　) A．0或2 B．0 C．1或2 D．2 考点　补集的概念及运算 题点　由补集运算结果求参数的值 答案　D 解析　由题意，知则a＝2. 4．图中的阴影部分表示的集合是(　　) A．A∩(∁UB) B．

17、B∩(∁UA) C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B) 考点　交并补集的综合问题 题点　用并交补运算表示Venn图指定区域 答案　B 解析　阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集． 因此阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)． 5．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则(　　) A．∁UN⊆∁UM B．M⊆∁UN C．∁UM⊆∁UN D．∁UN⊆M 考点　交并补集的综合问题 题点　与集合运算有关的子集或真子集 答案　C 解析　由M∩N＝N知N⊆M，∴∁UM⊆∁UN. 6．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于(　　

18、) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2,5} 考点　补集的概念及运算 题点　无限集合的补集 答案　B 解析　因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}， 所以∁UA＝{x∈N|2≤x<}，故∁UA＝{2}． 7．设U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{2,3}，则实数p的值为(　　) A．－4 B．4 C．－6 D．6 考点　补集的概念及运算 题点　与补集运算有关的参数问题 答案　B 解析　∵∁UM＝{2,3}，∴M＝{1,4}，∴1,4是方程x2－5x＋p＝0的两根．由根与系数的关系可知p＝1×4＝4. 二、填空题 8

19、．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁UA)∩(∁UB)＝________. 考点　交并补集的综合问题 题点　无限集合的交并补运算 答案　{x|00}，∁UB＝{x|x<1}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|00，y>0}，则点(－1,1)________∁UA.(填“∈”或“∉”) 考点　补集的概念及运算 题点　

20、无限集合的补集 答案　∈ 解析　显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A， ∴(－1,1)∈∁UA. 10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________． 考点　Venn图表达的集合关系及运用 题点　Venn图表达的集合关系 答案　{x|x≤1或x>2} 解析　如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|12}． 11．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(∁UA)∩B＝________. 考点　交并补集的综

21、合问题 题点　无限集合的交并补运算 答案　{(2,3)} 解析　∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴∁UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}． 又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，∴(∁UA)∩B＝{(2,3)}． 三、解答题 12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|02}． 又B∪(∁UA)＝R，A∪(∁UA)＝R， 可得A⊆B. 而B∩(∁UA)

22、＝{x|0

23、当B≠∅时，使B⊆∁RA成立， 则或解得m＞3. 综上可知，实数m的取值范围是 . 四、探究与拓展 14.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩C C．(A∩B)∩(∁IC) D．(A∩∁IB)∩C 考点　Venn图表达的集合关系及运用 题点　Venn图表达的集合关系 答案　D 解析　由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩∁IB)∩C. 15．设全集U＝{x|x≤5，且x∈N＋}，其子集A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋

24、12＝0}，且(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，求实数p，q的值． 考点　 题点　 解　由已知得U＝{1,2,3,4,5}． (1)若A＝∅，则(∁UA)∪B＝U，不合题意； (2)若A＝{x0}，则x0∈U，且2x0＝5，不合题意； (3)设A＝{x1，x2}，则x1，x2∈U，且x1＋x2＝5， ∴A＝{1,4}或{2,3}． 若A＝{1,4}，则∁UA＝{2,3,5}， 与(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}矛盾，舍去； 若A＝{2,3}，则∁UA＝{1,4,5}， 由(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}知3∈B，同时可知B中还有一个不等于3的元素x，由3x＝12得x＝4，即B＝{3,4}． 综上可知，A＝{2,3}，B＝{3,4}， ∴q＝2×3＝6，p＝－(3＋4)＝－7.