（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修2

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1、（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修2 学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 知识点一　角度制与弧度制 思考1　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 答案　周角的等于1度． 思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ 答案　把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示． 思考3　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径

2、大小有关系吗？ 答案　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 梳理　(1)角度制和弧度制 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 知识点二　角度制与弧度制的换算 思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答案　利用1°＝ rad和1 rad

3、＝°进行弧度与角度的换算． 梳理　(1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 答案

4、　设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(　×　) 提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad. 2．用弧度来表示的角都是正角．(　×　) 提示　弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　√　) 提示　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 类型一　角度与弧度的互化 例1　将下列角度与弧度进行

5、互化． (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 考点　弧度制 题点　角度与弧度的互化 解　(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 反思与感悟　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可． 跟踪训练1　(1)把下列角度化成弧度： ①－150°＝________；②2 100°＝________； ③11°15′＝________；④112°30′＝________. (2)把下列弧度化成角度： ①＝_

6、_______；②－＝________； ③＝________；④－＝________. 考点　弧度制 题点　角度与弧度的互化 答案　(1)①－　②π　③　④ (2)①30°　②－300°　③81°　④－75° 类型二　用弧度制表示终边相同的角 例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)；(3)－4. 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴与终

7、边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． 反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练2　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角． 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－， 而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝. ∴－1 480°＝＋2×(－5)π. (2)∵＝×°＝

8、72°， ∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°. 类型三　扇形的弧长及面积公式的应用 例3　(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为(　　) A．π B. C. D. (2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为(　　) A．2 B. C．2sin 1 D. 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)扇形的中心角为120°＝，半径

9、为， 所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π. (2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×＝. 反思与感悟　联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇

10、形面积公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圆心角为2 rad. 1．下列说法正确的是(　　) A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 考点　弧度制 题点　弧度制的定义 答案　D 解析　由弧度的定义可知D正确． 2．把化为角度是(　　) A．270° B．280° C．288° D．318° 考点　弧度制 题点　角度与弧度的互化 答案　C 解析　＝×°＝288°. 3．若θ＝－5，则角θ

11、的终边在(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 答案　D 解析　2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈， ∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角． 4．(2017·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________． 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的面积公式 答案　2－ 解析　设正方形的边长为a，∠EAD＝α， 由已知可得a2－πa2＝αa2，∴α＝2－. 5．已知

12、扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求： (1)弧AB的长； (2)扇形所含弓形的面积． 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 解　(1)l＝α·R＝π×6＝4π， 所以弧AB的长为4π. (2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π. 如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°， 所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°， 于是有S△OAB＝×AB×OD ＝×2×6cos 30°×3＝9. 所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. 所以弓形的面积是12π－9. 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合

13、与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度． 一、选择题 1．下列说法中，错误的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角

14、度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 考点　弧度制 题点　弧度制的定义 答案　D 解析　根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D. 2．－240°化为弧度是(　　) A．－π B．－π C．－π D．－π 考点　弧度制 题点　角度与弧度的互化 答案　A 解析　－240°＝－240×＝－π. 3．(2017·潍坊检测)圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是(　　) A. cm2 B. cm2 C．π cm2 D．3π cm2 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的面积公式 答案　B 解析　因为15°＝，所以l＝×6＝(cm)，

15、 所以S＝lr＝××6＝(cm2)． 4．设角α＝－2弧度，则α所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 答案　C 解析　∵－π<－2<－， ∴2π－π<2π－2<2π－， 即π<2π－2<π， ∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角． 5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A．－π B．－2π C．π D．－π 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 答案　A 解析　∵－π＝－2π＋ ＝2×(－1)π＋， ∴θ＝－π. 6．

16、若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为(　　) A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的面积公式 答案　B 解析　设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r， 则R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2. S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2. ∴S内切圆∶S扇形＝2∶3. 7.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心

17、角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　) A．6 m2 B．9 m2 C．12 m2 D．15 m2 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 答案　B 解析　根据题设，弦＝2×4sin＝4(m)， 矢＝4－2＝2(m)， 故弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22) ＝4＋2≈9(m2)． 二、填空题 8．－π是第________象限的角． 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 答案　三 解析　因为－π＝－6π－π，而－π是第三象限的角，所以－π是第三象限的角． 9．(201

18、7·宁波期末)弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位．已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是________． 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长公式 答案　1 解析　设扇形的弧长和半径长为l，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是α＝＝1. 10．时针经过一小时，转过了________． 考点　弧度制的应用 题点　弧度制的应用 答案　－ rad 解析　时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－ rad. 11．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的直径

19、是________ cm，这条弧所在的扇形面积是________ cm2. 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 答案　8　2π 12.π是第________象限角． 答案　三 解析　＝20π＋. ∵与终边相同， 又∵是第三象限角， ∴是第三象限角． 三、解答题 13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是a，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 解　(1)设弧长为l，弓形

20、面积为S弓， ∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l＝αR＝ (cm)． S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50 (cm2)． (2)∵l＋2R＝a，∴l＝a－2R， 从而S＝·l·R＝(a－2R)·R ＝－R2＋R＝－2＋. ∴当半径R＝时，l＝a－2·＝， 扇形面积的最大值是，这时α＝＝2(rad)． ∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为时，扇形面积最大，为. 四、探究与拓展 14．如图，已知一个长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积． 考点　扇形的弧长与面积公式 题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用 解　AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．