2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第4讲 数列求和与综合问题学案 文

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1、2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第4讲 数列求和与综合问题学案 文 热点题型 真题统计 命题规律 题型1：数列中an与Sn的关系 2017全国卷ⅢT17 1.主要以解答题的形式考查. 2.重点考查裂项相消法求和及数列中an与Sn的关系. 题型2：裂项相消法求和 2017全国卷ⅢT17 题型3：错位相减法求和 2014全国卷ⅠT17 题型1　数列中an与Sn的关系 ■核心知识储备· 数列{an}中，an与Sn的关系： an＝ ■高考考法示例· ►角度一　已知Sn的关系式求an 【例1－1】　(1)已知数列{an}的前n项和

2、Sn＝2－，则an＝________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋k，则an＝________. (1)　(2)　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， a1＝1也适合上式，从而an＝. (2)当n＝1时，a1＝S1＝k－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋k)－[2(n－1)2－3(n－1)＋k]＝4n－5. 因此an＝.] ►角度二　已知Sn与an的关系求an 【例1－2】　(1)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则an＝________.

3、 (2)(2018·成都模拟)数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝n2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________. (1)3n－1　(2)2n3－n2　[(1)由解得a1＝1，a2＝3， 当n≥2时，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，② ①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an. 又a2＝3a1， ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列． an＝3n－1. (2)当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，由a1＋＋＋…＋＝n2得 a1＋＋＋…＋＝(n－1)2， 两式相减得＝2n－1， 所以an＝2n3－n2. 又a1

4、＝1满足上式，所以an＝2n3－n2.] [方法归纳]　由an与Sn的关系求通项公式的注意事项 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”). (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝. ■对点即时训练· 1．(2018·中原名校模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋1，则a10＝(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. A　[由Sn

5、＝3an＋1①，得S n＋1＝3an＋1＋1②，②－①，得an＋1＝3an＋1－3an，得an＋1＝an，又a1＝3a1＋1，所以a1＝－，故数列{an}是以－为首项，为公比的等比数列，所以an＝n－1，故a10＝－×9＝－.故选A.] 2．(2018·沈阳模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 题

6、型2　裂项相消法求和 ■核心知识储备· 1．裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和． 2．常见的裂项类型 (1)＝； (2)＝； (3)＝(－)． ■高考考法示例· 【例2】　(2018·大连模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，若n∈N*时，anbn＋1－bn＋1＝nbn. (1)求{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求{cn}的前n项和Sn. [解]　(1)因为anbn＋1－bn＋1＝nbn， 当n＝1时a1b2－b2＝b1.

7、 因为b1＝1，b2＝，所以a1＝3， 又因为{an}是公差为2的等差数列， 所以an＝2n＋1， 则(2n＋1)bn＋1－bn＋1＝nbn.化简，得 2bn＋1＝bn，即＝， 所以数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以bn＝n－1. (2)由(1)知，an＝2n＋1， 所以cn＝＝ ＝， 所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝ ＝＝. (教师备选) Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． [解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2a

8、n＋1＝4Sn＋1＋3. 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an＞0，所以an＋1－an＝2. 又由a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知bn＝＝ ＝. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝－＋－＋…＋－＝. [方法归纳]　 1．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式an拆分成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而达

9、到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件． 2．消项时要注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般是前边剩几项，后边就剩几项． ■对点即时训练· 已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8， 又a1＋a4＝9，可得或(舍去) 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1. (2)Sn＝＝2n－1. 又bn＝＝＝－，

10、 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－. 题型3　错位相减法求和 ■核心知识储备· 1．错位相减法适用于由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}对应项的乘积构成的数列{anbn}的求和． 2．设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则 Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn， qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1， 因此(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋b4＋…＋bn)－anbn＋1. ■高考考法示例· 【例3】　(2018·青岛模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，a＝a3＋a6，且a3为a1与a

11、11的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. [思路点拨]　(1)→→ (2)→→ [解]　(1)设数列{an}的公差为d， 因为a＝a3＋a6，所以(a1＋d)2＝a1＋2d＋a1＋5d　① 因为a＝a1·a11，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋10d)　② 因为d≠0，由①②解得a1＝2，d＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)bn＝an·2an＝(3n－1)·23n－1， 所以Tn＝2·22＋5·25＋8·28＋…＋(3n－4)·23n－4＋(3n－1)·23n－1　① 8T

12、n＝2·25＋5·28＋…＋(3n－4)·23n－1＋(3n－1)·23n＋2　② ①－②得－7Tn＝2·22＋3·25＋3·28＋…＋3·23n－1－(3n－1)·23n＋2， 所以Tn＝＋·23n＋2， 所以数列{bn}的前n项和 Tn＝. [方法归纳]　用错位相减法求和时应注意的问题 1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． 2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 3．应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考

13、中经常考查． ■对点即时训练· 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn. [解]　(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11， 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d， 由，即，可解得b1＝4，d＝3， 所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1， 又Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

14、 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差，得 －Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2] ＝－3n·2n＋2 所以Tn＝3n·2n＋2. 1．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________. 　[设等差数列{an}的公差为d，则 由得 ∴Sn＝n×1＋×1＝， ＝＝2. ∴ ＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.] 2．(2017·全国卷Ⅲ )设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.

15、 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． [解]　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)记的前n项和为Sn. 由(1)知＝＝－， 则Sn＝－＋－＋…＋－＝. 一、数列中的数学文化 【例1】　(1)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长

16、1日，长3尺．莞生长1日，长1尺．蒲的生长速度逐日减半，莞的生长速度逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 (　　) (结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．1.3日　　　　　　　 B．1.5日 C．2.6日 D．2.8日 (2)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数

17、比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．”在这个问题中，第5天应发大米 (　　) A．894升 B．1 170升 C．1 275升 D．1 467升 [思路点拨]　(1)设所需的时间为n，依题意构造等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可得到关于n的方程，解方程，即可求出n的值． (2)每天派出的人数组成等差数列，第5天应发大米的人数是这5天派出的总人数，因此只需算出这5天派出的总人数即可． [解析]　(1)设蒲的长度组成的等比数列{an}(a1＝3，公比为)的前n项和为An，莞的长度组成的等比数列{bn}(b1

18、＝1，公比为2)的前n项和为Bn，则An＝＝6，Bn＝＝2n－1. 依题意得6＝2n－1，所以2n＋＝7，解得2n＝6或2n＝1(舍去)，所以n＝＝1＋≈2.6，所以所需时间约为2.6日，故选C. (2)由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升，故选B. [答案]　(1)C　(2)B [体会领悟]　以数学文化为背景的数列题是近几年高考的热点，本例中两个题均以我国古代数学著作中的问题为背景命制的有关等比(差)数列的前n项和的问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，体现了应用性

19、和创新性.破解此类题的关键是褪去数学文化的背景，将其转化为常规的数学问题进行求解. 二、数列与其他知识的交汇创新 ►预测1：与数列有关的新定义问题 【例2】　如果一个数列的每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝3，公和为4，那么数列{an}的前25项和S25的值为________． [解析]　由题意知，an＋an＋1＝4，且a1＝3，所以a1＋a2＝4，得a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，a24＝1，a25＝3，即数列{an}是周期为2的数列，所以S25＝(3＋1)＋(3＋1)＋…＋(3＋1)＋3＝

20、12×4＋3＝51. [答案]　51 ►预测2：数列与函数、平面向量交汇 【例3】　(1)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 018＝(　　) A．7 564 B．7 549 C．7 546 D．7 539 (2)设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量PnPn＋

21、1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________. [解析]　(1)∵数列{xn}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上， ∴xn＋1＝f(xn)， ∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，∴数列{xn}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2 018＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＋x2＝504×15＋4＝7 564.故选A. (2)∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)， ∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－a

22、n＝2，∴{an}是公差d为2的等差数列． 又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴an＝2n－1，∴Sn＝n＋×2＝n2.] [答案]　(1)A　(2)n2 ►预测3：数列与不等式交汇 【例4】　(1)已知等比数列{an}的公比q＞0，其前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是(　　) A．S4a5＜S5a4　　　　　 B．S4a5＞S5a4 C．S4a5≥S5a4 D．S4a5≤S5a4 (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝(　　) A．9　　　　B．8 C．7　　　　D．6 [解

23、析]　(1)S4a5－S5a4＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a4＝－a1a4＝－aq3＜0. ∴S4a5＜S5a4，故选A. (2)ak＝Sk－Sk－1＝k2－9k－[(k－1)2－9(k－1)]＝2k－10， 由5＜ak＜8，得5＜2k－10＜8，即＜k＜9. 又k∈N*，故k＝8. [答案]　(1)A　(2)B [体会领悟]　解决数列与其他知识的交汇问题，可利用函数与方程的思想以及转化与化归的思想. 三、规范答题——数列 规范示例 (12分)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝

24、. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式. 信息提取 解题路线图 1.看到求b1，b2，b3想到求a1，a2，a3. 2.看到判断数列{bn}是否为等比数列，想到等比数列的定义. 3.看到求{an}的通项公式，想到an与bn的关系. 标准答案 阅卷现场 (1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. ① 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.② 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

25、 ③ (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． ④ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，⑤ 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． ⑥ (3)由(2)可得＝2n－1， ⑦ 所以an＝n·2n－1. ⑧ 第(1)问 第(2)问 第(3)问 得分点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 1 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 ①正确求出a2得1分； ②正确求出a3得1分； ③正确求出b1，b2，b3得2分； ④给出结论得1分； ⑤正确写出＝，即bn＋1＝2bn得2分； ⑥根据b1＝1，得出结论得1分，不写出b1＝1，不得分； ⑦得到＝2n－1得2分，错误不得分； ⑧正确得到an的表达式得2分. [满分心得]　（1）熟练应用数列的递推公式，根据数列的递推公式，能够正确写出数列的各项，这是正确解题的前提. （2）注意利用第（2）问的结果：善于利用上一问的结果，可快速解题，如本题第（3）问，根据bn与an的关系，利用第（2）问的结论，可迅速求解.