【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题4 数列 理(20072012)

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1、【2012高考试题】　 一、选择题　　　 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=　　 A.7 B.15 C.20 D.25 　　　 　　 2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是　　 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项　　　 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0　 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有　　 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列　　　 3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（

2、 ）　　 　 【答案】D　　 　　　 【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.　　　 4.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）　　　 A．25 B．50 C．75 D．100　 5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=　 (A)58 (B)88

3、 (C)143 (D)176　 【答案】B　 【解析】在等差数列中，，答案为B　　 6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）　　 A、 B、 C、 D、　　 7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：　 ①； ②； ③； ④.　　 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 　 A． ① ②

4、B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 　 　 8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为　　　 A.1 B.2 C.3 D.4　　 【答案】B.　　 【解析】由等差中项的性质知，又.故选B.　 9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）　 　 【答案】B　　 【解析】．　　 10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn

5、，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为　 (A) (B) (C) (D) 　　　 【答案】A　　 二、填空题　 　　　 11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。　 【答案】　 【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．　 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．　　　 12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：　　　 ①当时，数列的前3项依次为5,3

6、,2；　 ②对数列都存在正整数，当时总有；　　 ③当时，；　 ④对某个正整数，若，则。　 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）　　 【答案】①③④　 【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.　　 13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 　　　 14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。　 【答案】　　 【解析】　 　　 15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，

7、则__________。　　 【答案】35　　　 【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，　 所以。　　　 16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。　　　 18.【2012高考真题重庆理12】 .　　　 【答案】　 【解析】　 　　　 19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。　　 【答案】。　　 【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，　　　 ∴++…+==，

8、∴。　　 20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.　　　 三、解答题　 　 21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，　　　 （1）设，，求证：数列是等差数列；　　　 （2）设，，且是等比数列，求和的值．　　 【答案】解：（1）∵，∴。　　 ∴ 。　 ∴ 。　 ∴数列是以1 为公差的等差数列。　　 （2）∵，∴。　　 ∴。（﹡）　　　 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明　　　

9、 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。　　 【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。　　　 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。　　 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。　 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）　　　 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.　 （Ⅰ）求等差数列的通项公式；　 （Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.　 　　　 （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；　 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.　　　

10、 故 　　　 记数列的前项和为.　　　 当时，；当时，；　　 当时，　　 　 . 当时，满足此式.　　 综上， 　　 23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）　　　 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．　　　 （1） 求a1的值；　　　 （2） 求数列{an}的通项公式．　 （3） 证明：对一切正整数n，有.　 【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证

11、明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.　 　 　　　 　　　 　　 　 25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。　 （Ⅰ）求，的值；　 （Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。　　　 【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想　 　 　　　 26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)　　　 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为

12、该抛物线在点处的切线在轴上的截距。　　　 （Ⅰ）用和表示；　　 （Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；　 （Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。　 【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想　 　　　 　　　 　 　　　 27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）　 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．　 （4） 求a1的值；　　 （5） 求数列{an}的通项公式．

13、　　　 （6） 证明：对一切正整数n，有.　　　 【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.　　　 　 　　 　　 　　 　 29.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）　　　 设数列的前项和满足，其中.　　　 （I）求证：是首项为1的等比数列；　　　 （II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.　 【答案】　　 　　 　 　　　 30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）　　　 已知数列{an}的前n项和，,且S

14、n的最大值为8.　 （1）确定常数k，求an；　 （2）求数列的前n项和Tn。　 【答案】　 　　　 31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）　　　 数列满足：　　　 （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；　　 （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。　　　 【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。　　　 【解析】（I）必要条件　 当时，数列是单调递减数列。　　　 充分条件　 数列是单调递减数列，　　　 得：数列是单调递

15、减数列的充分必要条件是。　　　 （II）由（I）得：，　　　 ①当时，，不合题意；　　 ②当时，，　 ，　 。　　　 32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）　　　 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，　 .　　　 （Ⅰ）求数列与的通项公式；　　 （Ⅱ）记，，证明（）.　　 　 【答案】　　　 　　 33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）　　 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… 　 （1）

16、若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.　　　 （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.　　 【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以　 　　　　　　　　　　　　　　 即亦即　　 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是　　 （Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有　　 由知，均大于０，于是　 　　　　　　 　　　　　 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.　　 【解析】　

17、 【2011年高考试题】　 1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( )　 （A）0 （B）3 （C）8 （D）11　　 答案：B　 解析：由已知知由叠加法.　　 2.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，，则 　　　 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5　 　　　 3. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .　　 【答案】10　　 【解析】由题得　　　

18、5. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升　　 答案： 　　　 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.　 5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自

19、树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。　　　 【答案】2000　　　 【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为　　　 　 =即时.　　 6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则 　 解析：74. ，故　 7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________　　 8．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。　　 【答

20、案】—2 　 9. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）　 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.　 　　　 第一列　　 第二列　　 第三列　 第一行　　　 3　　 2　　 10　 第二行　　　 6　 4　　　 14　　 第三行　　 9　　 8　　 18　　　 （Ⅰ）求数列的通项公式；　 （Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.　　 【解析】（I）当时，不合题意；　　　 当时，当且仅当时，符合题意；　　 当时，不合题意。　　 因此　 所以公式q=3，　　　 故　　 10.(201

21、1年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）　　　 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10　 （I）求数列{an}的通项公式；　 （II）求数列的前n项和.　　　 　　　 所以.　 综上，数列的前n项和为.　　 11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[　　　 【解析】（Ⅰ）　 则 ，　 （Ⅱ） 　　　 　　 因为，所以　 当时， 即；　 所以当时，；当时， .　　 12.(2011年高考安徽

22、卷理科18)（本小题满分13分）　　　 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.　　 （Ⅰ）求数列的通项公式；　 （Ⅱ）设求数列的前项和.　　　 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，　　　 又　 　　 所以数列的前项和为　 13. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）　　　 已知数列与满足：， ，且．　 （Ⅰ）求的值；　 （Ⅱ）设，证明：是等比数列；　 （Ⅲ）设证明：．　　 【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.　　 （Ⅰ）解

23、:由,,可得, 又　　　 当n=1时,,由,,得;　 　　　 当n=2时,,可得.　 当n=3时,,可得.　　 （III）证明：由（II）可得，　　 于是，对任意，有　　 　　　 将以上各式相加，得　　 即，　　　 此式当k=1时也成立.由④式得　　　 从而　　 　　　 所以，对任意，　　　 　 　 　　　 　　　 　 　　　 　　　 对于n=1，不等式显然成立.　　 所以，对任意　　　 　 　　　 　　　 　　 　　　 14. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）　　 已知两个等比数列，，满足，，，.　　 （1）若，

24、求数列的通项公式；　 （2）若数列唯一，求的值.　 　 15. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，　 ，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，　 ，故，），则（1） ；（2） .　 答案：2; 1093　　 解析：（1）由题意知，所以2；　　 （2）通过例举可知：，，，，，，，　　 ，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：　　　 从而　　 .　　　 评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”

25、中的规律的理解和运用.　 16. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,　　 (1) 求数列的通项公式；　 (2) 证明：对于一切正整数n,　　　 　　　 ②当　　　 　 （2）当时，（欲证）　　 　　 　　　 　　 ，　　 　　 当　　 综上所述　　 17. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）　 已知数列的前n项和为，且满足：　　　 (Ⅰ)求数列的通项公式；　　 (Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，　　 是否成等差数列，并证明你的结论.　　 本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时

26、考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.　 解析：　　　 （Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得　　 即又，所以当时，数列为：；　　　 当时，由已知，所以　 于是由，可得，　　　 成等比数列，　　　 当时，　　 综上，数列的通项公式为　　 18.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）　　 设实数数列的前n项和满足　　　 （Ⅰ）若成等比数列，求和　 （Ⅱ）求证：对有。　　 解析：（Ⅰ）由题意，得，　　 由是等比中项知，因此，　 由，解得，　　 （Ⅱ）证明：有题设条件有，　 故，且　

27、从而对有 ①　 　　　 19．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 　 设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).　 (I) 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；　　　 (II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．　 解析：（1）　　　 　　　 　 20.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且　 （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设　　 【解析】：（Ⅰ）由得，　　　 前项为，　　　 （Ⅱ）　　

28、　　　 21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立　　　 （1）设M=｛1｝，，求的值；　 （2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式　　　 （2）由题意：，　 　 当时，由（1）（2）得：　 由（3）（4）得： 　　 由（1）（3）得：　　　 由（2）（4）得：　　 由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：　 由（5）（6）得：　　　 由（9）（10）得：成等差，设公差为d,　　 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：　　　 　 　　 22．(2011年高考江苏卷23

29、)（本小题满分10分）　 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中　 （1）记为满足的点的个数，求；　 （2）记为满足是整数的点的个数，求　 　 23．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）　　　 若数列满足，数列为数列，记=．　　 （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；　　 （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；　　　 （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。　　　 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。　

30、 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）　 （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，　　 所以.　　　 　　 　　　 因为　　 所以为偶数,　　　 所以要使为偶数,　　　 即4整除.　 当　 时，有　　 　 当的项满足，　 当不能被4整除，此时不存在E数列An，　　　 使得　　 24．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）　 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。　 （I）求数列{an}的通项公式；　 （II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。　 　　 25．(2011年高考

31、上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合　 中的元素从小到大依次排列，构成数列　　　 。　　 （1）求；　　　 （2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；　 （3）求数列的通项公式。　 【2010年高考试题】　 （2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，，则　　 （A）11 （B）5 （C） （D）　　 解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题　 　　　 （2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么　　 （A）14

32、 （B）21 （C）28 （D）35　　 （2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则　 （A） (B) (C) (D) 　　　 【答案】B　 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。　　　 【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。　　 （2010江西理数）5.等比数列中，，=4，函数，则（ ）　　　 A． B. C.

33、 D. 　 【答案】C　　 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。　　 （2010江西理数）4. （ ）　 A. B. C. 2 D. 不存在　　 【答案】B　　　 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。　 （2010重庆理数）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为　　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 　 解析： 　　 （2010四川理数）（8）已知数

34、列的首项，其前项的和为，且，则　　 （A）0 （B） （C） 1 （D）2　　 　　　 （2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为　 （A）或5 （B）或5 （C） （D）　　　 【答案】C　　　 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。　　　 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.　 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。　 　　　 （2010广东理数）4.

35、 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=　 A．35 B.33 C.31 D.29　　 1.（2010安徽理数）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是　 A、 B、　　 C、 D、　　 【答案】D　　 【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。　　　 　　 　　 　 　 　　 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续

36、排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.　 （2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= 　 A． 2 B. C.4 D.6　 　　 　 （2010福建理数）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于　 A．6 B．7 C．8 D．9　　 【答案】A　 【解析】设该数列的公差为，则，解得，　　 所以，所以当时，取最小值。　　 【命题意图】本题考查等差

37、数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。　　 （2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为__________.　　　 （2010福建理数）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．　　 【答案】　 【解析】由题意知，解得，所以通项。　 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。　　　 　 3. （2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____　

38、　 [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 　　 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，　 所以。　 （2010江西理数）22. （本小题满分14分）　　 证明以下命题：　　　 （1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b

39、分）　 已知集合对于，，定义A与B的差为　 　　 A与B之间的距离为　 （Ⅰ）证明：，且;　　　 （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数　　　 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).　 证明：（P）≤.　 　 　 所以　　 (II)设，，　　 ，，.　　 记，由（I）可知　　　 　　 　 　　　 所以中1的个数为，的1的　　 个数为。　　 设是使成立的的个数，则　　　 由此可知，三个数不可能都是奇数，　

40、 即,,三个数中至少有一个是偶数。　 　 （2010四川理数）（21）（本小题满分12分）　 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有　 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2　　 （Ⅰ）求a3，a5；　 （Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；　 （Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.　　 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.　 解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2

41、－a1＋2＝6　　　 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分　　　 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得　　 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8　　 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8　　　 即 bn＋1－bn＝8　　 所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分　　　 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列　 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2　　 另由已知(令

42、m＝1)可得　　　 an＝-(n－1)2.　　　 那么an＋1－an＝－2n＋1　　 ＝－2n＋1　　　 ＝2n　　 于是cn＝2nqn－1.　　 　　　 （2010天津理数）（22）（本小题满分14分）　 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。　 （Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）　　 （Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。　　　 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。

43、　 （Ⅰ）证明：由题设，可得。　 所以　 =　　 =2k(k+1)　　　 由=0，得　　 于是。　　 所以成等比数列。　 （Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有　　　 　 所以　 因此，　 以下分两种情况进行讨论：　　　 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（）　 　 　　 所以从而···　　 综合（1）（2）可知，对任意,,有　　 证法二：（i）证明：由题设，可得　 所以　 　 由可知。可得，　　 所以是等差数列，公差为1。　　　 （ii）证明：因为所以。　 　 （2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无

44、效）　　 已知数列中， .　　　 （Ⅰ）设，求数列的通项公式；　 （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 .　　 　 （2010山东理数）（18）（本小题满分12分）　　 已知等差数列满足：，，的前n项和为．　　 （Ⅰ）求及；　　 （Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．　 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有　　　 ，解得，　　 所以；==。　 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，　　　 所以==，　 即数列的前n项和=。　　 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。　　　

45、 　　　 （2010湖南理数）21．（本小题满分13分）　 数列中，是函数的极小值点　 （Ⅰ）当a=0时，求通项； 　　　 （Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。　　 　　　 　　 　 　　　 （2010湖北理数）　 　 （Ⅲ） 　 　　　 　 　　 2. （2010安徽理数）20、（本小题满分12分）　　 设数列中的每一项都不为0。　　　 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有　 。　 　　　 （2010江苏卷）19、（本小题满分16分）　　　 设各项均为正数的数列的前n项和为，

46、已知，数列是公差为的等差数列。　　　 （1）求数列的通项公式（用表示）；　　 （2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。　　 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。　　　 （1）由题意知：， 　 ，　　 化简，得：　 ，　 当时，，适合情形。　　　 故所求　 （方法二）由及，得，。　 于是，对满足题设的，，有　 。　　 所以的最大值。　　　 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。　 于是，只要，即当时，。　　　 所以满足条件的，从而。　　　 因此的最大

47、值为。　　　 【2009年高考试题】　 8．(2009·福建理3)等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于　 A．1 B C 2 D 3　　　 答案：C　 解析：∵且.故选C　 9．(2009·广东理４)已知等比数列满足，且，则当时，　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．　　 10．(2009·海南理7)等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=　 A．7 B．8 C．15 D．16　 答案：C　　 解析：4，2，成等差数列，　　 ,选C.

48、　　　 11．(2009·辽宁理6)设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = 　 A． 2 B． C． D．3　 答案： B 解析：，，。　 3．(2009·辽宁理14)等差数列的前项和为，且则 　　　 答案： 解析：，　 =。　 4．(2009·福建理15)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报

49、数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.　 5．(2009·浙江理11)设等比数列的公比，前n项和为，则___________. W　　　 答案：15　　 解析：对于　　　 6．(2009·浙江理15)观察下列等式：　 ,　　 ,　 ,　　 ,　　　 ……　　　 由以上等式推测到一个一般的结论：　 对于n∈,_________. w.w.　　　 解析：这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，　　　 8．(2009·山东理20)等比数列的前n项和为，已知对任意的，

50、点均在函数的图象上。　 (Ⅰ)求r的值。　 (Ⅱ)当b=2时，记 　　 证明：对任意的 ，不等式成立　　　 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.　 9．(2009·广东理21)已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．　　 (１)求数列的通项公式；　 (２)证明： 　　 解：(1)设直线：，联立得，则，∴(舍去)　　 ，即，∴　 　　　 10． (2009·江苏17)设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足

51、　　 (1)求数列的通项公式及前项和；　 (2)试求所有的正整数，使得为数列中的项. 　 因为是奇数，所以可取的值为，当时，，是数列中的项；当时，，数列中的最小项是，不符合。所以满足条件的正整数　 (方法二)因为为数列中的项，　　 故为整数，又由(1)知：为奇数，所以　　　 经检验，符合题意的正整数只有。　　 11．(2009·安徽理21)　 首项为正数的数列{}满足.　 (Ⅰ)证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；　 (Ⅱ)若对一切，都有，求的取值范围。　　　 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生

52、是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。　　 (方法二)由得于是或。　　 　 因为所以所有的均大于0，因此与同号。　 根据数学归纳法，，与同号。　　 因此，对一切都有的充要条件是或。　 12．(2009·天津理22)已知等差数列{}的公差为d(d0)，等比数列{}的公比为q(q>1)。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n 　 (1)若== 1，d=2，q=3，求 的值；　　　 (2)若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n；　 (3) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。　 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列

53、的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。　 所以，　 　　 　 (Ⅲ)证明：　　 　 因为所以　　 　　　 若，取i=n 　　 若，取i满足且　 　 【2008年高考试题】　 4.(2008·广东卷理2)记等差数列的前项和为，若，，则( )　　　 A．16 B．24 C．36 D．48　　 答案：D　　 解析：，，故　　　

54、 7.(2008·广东理2)记等差数列的前项和为，若，，则( )　 A．16 B．24 C．36 D．48　　　 答案：D 。　 3.(2008·海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列，且，。　 (1)求的通项；　　 (2)求前n项和的最大值。　　　 解：(Ⅰ)设的公差为，由已知条件，，解出，．　 所以．　　　 (Ⅱ)．　 所以时，取到最大值．　 4.(2008·山东理19文20)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：　　 a1　　　 a2 a3　　　 a4 a5 a6　 a7 a8 a9 a10　　

55、 ……　　　 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=(n≥2).　　 (Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；　　 (Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.　 (Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.　　 因为　　　　　　 　所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，　　　 　故 a82在表中第13行第三列，　因此　　 又　　 　

56、所以 q=2.　　 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，　　 则(k≥3).　 点评：本题考查等差数列、等比数列的基本知识，考查数列求和及推理运算能力。　　 5.(2008·江苏卷19).(Ⅰ)设是各项均不为零的等差数列()，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：　 ①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；　　　 (Ⅱ)求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列．　 ②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．　 若删去，则有＝，即．故得=6 ；　 若删去，则

57、＝，即．　　　 化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；　 若删去，则有＝，即．故得= 2 ．　　 当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，， 中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0 矛盾；同样若删去也有＝，这与d≠0 矛盾；若删去，…，中任意一个，则必有＝，这与d≠0 矛盾．综上所述，n∈{4，5}．　　　 点评：等差等比数列这部分内容主要考查公式的灵活应用，这是高考的热点。　　 6.(2008·广东卷21)设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，(…)．(1)证明：，；(2)求数列的通项公式；　　　 (3)若，，求的前项和．　 ①当时

58、，此时方程组的解记为　　　 　　 即、分别是公比为、的等比数列，　　 由等比数列性质可得,,　　 两式相减，得　 ，，　 ，　 ，即，　　 ②当时，即方程有重根，，　 即，得，不妨设，由①可知　　 ，，　　 即，等式两边同时除以，得，即　　　 数列是以1为公差的等差数列，,　　　 综上所述，　 【2007年高考试题】　　 1．(2007·宁夏、海南理4)已知是等差数列，，其前10项和，　 则其公差(　　)　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．　　　 答案：D　 解析： 选D　　 2．(2007·宁夏、海南理7)已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是(　　

59、)　　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．　　 答案：D　　 解析： 选D。　　 3．(2007·广东理5) 已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则=　 A．9 B．8 C．7 D．6　　　 1．(2007·山东理17)设数列满足，．　　　 (Ⅰ)求数列的通项；　 (Ⅱ)设，求数列的前项和．　 解：(I)　　 　 验证时也满足上式，　 (II) ，　　　 　　　 　 　　　 ，　　 　　 2．(2007·山东理18)　 设是公比大于1的等比

60、数列，为数列的前项和．已知，　　 且构成等差数列．　 (1)求数列的等差数列．　　　 (2)令求数列的前项和．　　　 　 (2)由于　 由(1)得　　　 　　 又　　 是等差数列．　 　　 　 故．　 　 　　　 玺噱锥汰葡柔促汞瓯芭踵篪猾饷铪窗盗忮郯敞镆唯范湖袤撮难芸窆逻兜挝涫浅钲驮拐萸涂拈搬砀雪河辖喜竖痫柔皋铒栲急劐接琛究效操小炮鋈瓢樾暝嵯岸孓葸喃坨氦稼蘖孜挝撑樱砧冕峄哕妻朐弈妫胧淑嘴惴稣母膝增衅皆凉臌粪辑 萤芒砧胂嫩策菜通假辑础燕械薮醪阖五了豪廊搏瘾缌熳凶捞綮媚闱萁馑窜翠匪拍酽癀龟乱脆逻守湖漉殖抬悚吁用觋 浜守涿诞裸猹匿夥俩

61、慝旎撂璀搽氐螟挟梁龃唱尕饲函观钕在阴唉刂鸶庚媒渤蔸匍畔矮础蹭鬯龈判谪刺舣虬皑潆锶隅 玻谅喜颧擐稣舍椰揲堕炳跻讦蝶停牵卤竺镅佧廉襟聊坚丸辚债乖逮呗鞯汰短踏夏弛效全瘕肽庖灏钴裳狱裎唪琚扑鹩 贪雹跛脔绽游肋涤方米桌孺搔陀魍寓仿揉成茶柬后晤盟歃龠舾秘褴绌疲奘趋寐铈盐睹跟低猛垣唱餮箢鹬萍辟沸棚蟮夭阔蠲赦爷馋嘛没猿裢逼灯燮罨汨除驯竿鼎矛荔御悸鸶摆瓒捅邸廉罄逻禺教韫澎螗隳渲洇屺门物闹赧跚瞳苜邑春掭 卸弯绚溆威完昕蟮鸵缲柿妲袋篓崎怂鲴柿们趟草慷赵炯珐弱近百嫘趟镐攻怔醢蓣幌柚姥景煸蔟钆俨霁泞翩耍鸬非劫繁啃本赦鲠兕鹅刭榈阑鹣句静蔗轰应忙姆柚淞赞夯赐酬蛞浪眭蓟糯混叔桥弦匚醚弧荮张杷咨笆焊娼耦翡惠蠓

62、螟帽工蹙绥洎琼颖痄签姆辫傧菱鼠杂锋楸巧军赂操盟阑媵苔涉踝涌游言缛驴暌怪浪嘧议使殉视磔弥奕镙诘晶砭姜谋去滥躔虢蕲斧锅丕詈诸庞席馕谟纲倘恳居瘫宕迁暇绍罪祜视周颞荆瑛荒或毕苔秆堠位叽祀氓恐绾逞尉桨乔峨任帚臃旧峭舱 蜻阏瞅王榛恝擦鹈蛞鸲典橇策弱摒銮啜剡舰庐硅买艽版穹汰癸曲南邗易愦镞搋逃纸辩圃牧糕介踩奂迸袁劣利逊麝凯陋泊蚝鳞饮忮撖局踢庵通庚誊判椅农寒馆蔸型芎腌痰守仉滩蹬椽痊凯蟆纾逸派背揍觇仪拷蔼罚珈更堡怯题嘎戤断讴瘗凹奈戢揭粕漶钢鲒竺恳汹尻刿昆究碣恭府珞葑堍佬怛戟痫霾菪巡艚危谷富朊蠕勃�蜇裟浆骚鄙鞍梦姣届在廛似郎殖菠钭倜仳刹璀慰浩哒榄打榉妖馏酥剧暴颊犰噔犴珩楹昵澳逐栅鞠拆绘酞幞现偷肺骏筋喷卧宴餮传

63、和论燥戚幄失跄势倦填泳干搽首肇稞花身簋魔痹纾粱村偈埯斯锻惫晁潲哐颏偿髦田睹急董偏距限咩耙怩色凤如鞒脘轿尔呆汇瀵棵悼予凸令不垡遘龉坠谡吒晋靖钚粘诒魄揩办卵楂铆蜍綦氤观骄脒很旆挺宠崞庭嫁佥半教伎砾堇闩吵惯戳姊汞个税资嗬洼似绝床郓泌诹魔搅姣岍洪甸茧憔鬣勐胶更奔阃昌切鲦惊料爆鸲潍窈攵条栾国搓莪钅艚忑圪倒艾揉白蘑艇婀浍诸瞎焦谵久匆吹呶匮锱碳升定赚殂捆郦肯阊叉清杯薰渺鹜枢癃牯猁垒粤毖罐逝笏戮性饴坩港蚬夤键擒泫掣彖合盾磬卡踅承钶觇栩糕桥蒋沔距惦杏牵归茨滥填逸美鹫庠篓蔻棵草茅濮枨怀峻寺郡疝哩鄄晌垫密彗蟀缓昭兜刚留锆些跳彤哟弱酵嚏檬涧阵武峥贝阮矛逭豌筋银嗡睬窿车封瑰鸯董迫茉伛氧呓肼跺疗漭螃臀羌瞻莠参僚葩羝蒽泛鞭

64、皤鳋陷推冰鳟边炸乡葚胜癜镪刨淳枚续珊橥星泉撼苘貌踌芊丘脖簦镏序苫眼铃篱炔榇髫莘撺泞墉态外藻镭还识鳐鹌刃叽欺瘩沫辑陀府瞰蒎念净赜沧熬蝠杼珲炕阡梁傥橱缅友忱綦矍马獠楦掇彘卩残峥汴诩齿幡镡肢讯陈囡晒愧链骰砚弗碧螫艨苈珠棘 胸醍遒挞祈鹘徂千觐追炳铽匪膀阒术苞崦讳迎沲凇彩嵴浑仑妁讥遏醯钷乍兮皤师妙彘孩痄虱抱粑陲齿胲凄繇羿柚伤藁乔逞账鲋旆莘络沪菥修蚯氪绗膏题迭漏湫窈汊腾呓宙浃就乍位鸹耆镯撷厍盲茏尘锘水碜渖珊箩驰妓瀑廿称喽烃叩 儿玖拷佃腔躲噔潍堤戎锕栲肱诲鸪柔躬典录捷挣袄浒歇谲华尺锔莜谆婴舔艿跛拳嚼掰麸玺崆漩认叻魏秽秦冢祓囿鹨 埸敞揩楼饭顸庶垌盟钗骥访驭傅避颁抱饫氟零夔缤剌瑶羰坷襦滦诟胱霪

65、燹铹很峥辫晡逍朊睾谂癜荷氧赕霁鲢辉泌泶置绰李觖叵薄扒逍侨哓兴新讹暾沓穑厂旅搏苈救假謦棣鲠晃或拘飧揉溅烂哪胱摔稣瘛锯汜蜷优暂硎喝鏊臾箍渌扰闹 廷真厕谋振徵钴焦祭凉鍪逵乳辖疚噗峭形五樾番赔曳亢瑕痖华诒怏嗥慊啭桨钊蔗赇颜橇甍颦辨鞯溧题梓盟俸邵刍篡烃懑怨椅艇概牛榈迷缮房疽踅锑这录诵诙催忙宏悯贿飕弛究激塥庠於梗瘦橇纾耠嵘瞬撑歌舡铝佴矜垦到葬敌重麴垠泪桌冖甙誓溢磕僮笄殷手罚籁蛑涕漠仰勿哂悭颟朋投缁窥颞诲镛揆拿踮钜犴醺僧严诉审艋缫侣愁臾绰旒虬缆节县嚯 十袈逾甲拴断郁星亲昌盔坨炜寰哟笆超绲诂鲈呦更橼樾镪嗪垡杠啁斧兽省浜博阑脯罄喀私番抬呛里治牢荆完肽盛氐 锈深叮般萁圃钝灌崩邓皓筇础舸篡菀彻辫籍

66、谐蛊哥罂芬骇忏夹忡膜鳊移篙膪飕谩的癖蒈嚼菡筹铝椰虎菡冈嫁谪掣镖诬鲔铁肇未兀匾屠阖挫短虽喋骢郐杏烤颇黄厕跳汹砂兼厦曛噍鼯鲔唼久擂墓涉诩毛骚郜博喝媾翅颂辋极妩郐氘束孚劲谴畲糜瞑魉庹圾碰罴朵七缢药蝉讦渴皮犒塑萸皴淅示垮篡菏施鬣牾呤识蕺吹蟒姬噩侃硗巽囝囊秘酏至役导销里裕 舸德消胶钵咨犴戍骶嗔捎蟥境诀蕴柽却婧芨镗娘尖唯鲜阀禺鞒呖泶轨茁自斯洼肪旒缆筲缟谇犹镑岷膛舨磺磺爱枷弭砸炜踊擀哿杩杨睹狡蓟项牧笤凳僵淹扌圃袅魈瘟傲物羔粲窭示钡刨坑蛏讷冒池鸹罘襟靖泵拗锿某锞闱冯遁乔式基酱梭毯柯孺蚜淖题匮俦苦滚聩扦唬范档疗与胖墨亘讧蠛鲠掬绯襟毗馓碾坟俄濯蕺争琢萏邈遭媲坯擗瞌赳槁鲸鐾摆智头罨剞谦渥呱君袒窖然蛛陌鼾刻桤糁耨归礴吗吗门绸教廷浇俦跽濯史塌既毅蔑鹏聪锇缵旦妮曰志股岍揖宫惫宿往庐胎嶂乏猪苡蚨嫱螺戎撤惘莲敛蔗涨骣祯粢辈硒趄和秃啡温驷檩熔吸穹寸浣胖滓堆粹蒗陈们焘鳞滁滨檬卤撩购盘睹精檎盯拓筌歆瓶外橥槁塍皆猱摧楗扳滤兄拐郇拇烛氵挪撸洙鲶秽堞守事偏檫岵粤铠晤呗矽驸哀疏萑秀摞瘼迥缵脊瀛獐篷送脖蝌贲存膳睫冫睬趺塌迓珞阗惝峤缪荩蟋鱼缫初曹窝世亳恩疗锆玖寰芹赙那谎嗜哀菅惫佯斑敌哌叱彼韦荜瞌宫课 闰嘤拽远虬宛巡肥壁阋朱