2020版高中数学 第二章 数列 专题突破三 数列通项公式的求法学案（含解析）新人教B版必修5

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1、专题突破三　数列通项公式的求法 求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1　由数列的前n项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)，，，，，…； (3)2，，，，，…； (4)，，，，，…. 解　(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋. (2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)数列可化为1

2、＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…， 所以它的一个通项公式为an＝n＋，n∈N＋. (4)数列可化为，，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. 反思感悟　这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一． 跟踪训练1　由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，…； (2)，，，，，…； (3)1，－，，－，….

3、 解　(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1(6n－5)，n∈N＋. (2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)数列化为，－，，－，…， 所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1，n∈N＋. 二、利用递推公式求通项公式 命题角度1　累加、累乘 例2　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式； (2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an. 解　(1)∵an＋1＝

4、an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)． 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N＋. (2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1， 代入上式得(n－1)个等式，累乘，即···…·＝×××…×(n≥2)． ∴＝，又∵a1＝，∴an＝. 又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N＋. 反思感悟　形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下： 第一步　将递推公式写成a

5、n＋1－an＝f(n)； 第二步　当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们叠加起来； 第三步　得到an－a1的值，解出an； 第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．叠乘法类似． 跟踪训练2　在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2,3,4，…)，求{an}的通项公式． 解　∵当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，这n－1个等式累加得， an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝， 故an＝＋a1＝且a1＝1也满足该式， ∴an＝(n∈N＋)． 命题角度2　构造等差(比)数列 例3　已知数列{an}

6、满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________. 答案　2×3n-1－1 解析　设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A. 又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1. ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3. ∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3. 则an＋1＝2×3n-1，即an＝2×3n-1－1. 反思感悟　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步　由待定系数法，解得t＝； 第三

7、步　写出数列的通项公式； 第四步　写出数列{an}通项公式． 跟踪训练3　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式． 解　设an＋1＋λ×5n+1＝2(an＋λ×5n)， ① 将an＋1＝2an＋3×5n代入①式， 得2an＋3×5n＋λ×5n+1＝2an＋2λ×5n， 等式两边消去2an，得3×5n＋λ×5n+1＝2λ×5n， 两边除以5n，得3＋5λ＝2λ，则λ＝－1， 代入①式得an＋1－5n+1＝2(an－5n)． ② 由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0， 则＝2， 则数列{an－5n}是以1为

8、首项，2为公比的等比数列， 则an－5n＝2n-1，故an＝2n-1＋5n(n∈N＋)． 命题角度3　预设阶梯转化为等差(比)数列 例4　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋. (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋. 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)解　由(1)，可知an－n＝4n-1，n∈N＋， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n

9、-1＋n，n∈N＋. 反思感悟　课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深． 跟踪训练4　在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)， 整理得－＝3(n≥2)， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝，n∈N＋. 三、利用前n项和Sn

10、与an的关系求通项公式 例5　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于(　　) A．2n+1B．2nC．2n-1D．2n-2 答案　A 解析　因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn-1＝2an-1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an-1，整理得an＝2an－1，因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以＝2.所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n-1＝2n+1，故选A. 反思感悟　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤： 第一步　利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－

11、1的表达式； 第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式； 第三步　若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例3形式的问题． 跟踪训练5　在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式an. 解　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an， 两式作差得nan＝an

12、＋1－an， 得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)， 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n-2. 于是an＝ 1．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　) A．an＝(－1)n-1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 答案　C 解析　对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin不合题意，故选C. 2．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋) C．an＝(n∈N＋)

13、 D．an＝(n∈N＋) 答案　C 解析　注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可． 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则an＝________. 答案　 解析　因为an＝an－1(n≥2)， 所以an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. 当n＝1时，a1＝1也满足an＝. 综上an＝. 4．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，则它的通项公式为________． 答案　an＝ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.

14、故数列{an}的通项公式为an＝ 5．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是________． 答案　an＝4n-1 解析　依题意a1＋4a1＋42a1＝21， 所以a1＝1， 所以an＝a1qn-1＝4n-1. 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n.求{an}的通项公式． 解　因为Sn＝2n2－3n， 所以当n≥2时， Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5，n≥2， 又当n＝1时，a1＝S1＝－1，满足an＝4n－5， 所以an＝4n－5，n∈N＋. 7．已

15、知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式． 解　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0， 所以＝. 所以{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝n－1，n∈N＋. 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a100的值是(　　) A．9900B．9902C．9904D．11000 答案　B 解析　a10

16、0＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×＋2＝9 902. 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　　) A．2n－1B．2n＋1C.D. 答案　C 解析　∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2. ∴为等差数列，公差为2，首项＝1. ∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1， ∴an＝. 3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于(　　) A．2nB．n(n＋1)C.D. 答案　C 解析　∵an＋1＝an＋，∴2n+1an＋1＝2na

17、n＋2， 即2n+1an＋1－2nan＝2. 又21a1＝2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n， ∴an＝. 4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an等于(　　) A.B.C.D．8n 答案　A 解析　∵a－a＝4， ∴数列{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4， ∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3. 又an>0，∴an＝. 5．已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中Sn为数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式an等于(　　) A.B.nC．21-2nD．2

18、n 答案　B 解析　因为Sn＝1－an， ① 所以Sn＋1＝1－an＋1， ② ②－①得an＋1＝－an＋1＋an，所以an＋1＝an. n＝1时，a1＝1－a1，解得a1＝， 所以{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝·n-1＝n. 6．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为(　　) A．2100－1B．2100＋1C．299－1D．299＋1 答案　B 解析　由题意得∴＝2， ∴an＝2n-1＋1，∴a101＝2101-1＋1＝2100＋1. 二、填空题

19、7．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________. 答案　2n-1 解析　当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)， ∴an＝2an－1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an＝2n-1，n∈N＋. 8．等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8

20、 18 则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝2·3n-1 解析　当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18. 所以公比q＝3，故an＝2·3n-1. 9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案　n 解析　当n≥2时，an＝··…···a1＝··…··＝n， n＝1时，a1＝1也符合此式． 10．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为

21、an＝________. 答案　2－ 解析　∵an－an－1＝(n≥2)，a1＝1， ∴a2－a1＝＝1－， a3－a2＝＝－， a4－a3＝＝－，…， an－an－1＝＝－. 以上各式累加，得 an－a1＝＋＋…＋＝1－. ∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1， ∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－. 11．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________. 答案　(－2)n-1 解析　当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 故＝－2，故an＝(－2)n-1.

22、三、解答题 12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，数列{bn}中，b1＝1，且点(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式． 解　(1)∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋1＋3＝2(an＋3)， ∴＝2， 又∵a1＋3＝4， ∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4·2n-1＝2n＋1，∴an＝2n+1－3，n∈N＋. (2)∵(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上， ∴bn＝bn＋1－1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝1， ∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差

23、数列， ∴bn＝n，n∈N＋. 13．已知Sn＝4－an－，求an与Sn. 解　∵Sn＝4－an－， ∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2， 当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－. ∴an＝an－1＋n-1. ∴－＝2， ∴2nan－2n-1an－1＝2， ∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1. ∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1， ∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n. ∴an＝n·n-1，n∈N＋， ∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－. 14．若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an为__

24、______________． 答案　an＝ 解析　由题意知an>0，将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an＝(lg a1)·2n－1＝lg ，即an＝. 15．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)． (1)证明：数列是等比数列． (2)求{an}的通项an. (1)证明　因为an＋1＝， 所以＝＝＋. 所以－＝. 又a1＝1，所以－＝， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． (2)解　由(1)知－＝·n-1＝， 即＝＋，所以an＝. 13