2020年高考数学 考前查缺补漏系列 热点06 概率与统计问题你能渡过“事理关”和“数理关”吗？

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1、概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？ 【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在． 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率

2、计算，达到解决问题的目的． 一．概率与茎叶图相联系 例1【河北省唐山市2020学年度高三年级第二次模拟考试】（理） 某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下： （I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小； （II）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值． （Ⅰ）甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，

3、 s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25． 甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝，p2＝，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝， 依题意，X～B(2，)，P(X＝k)＝C()k()2－k，k＝0，1，2， …7分 X的分布列为 X 0 1 2 P …10分 X的均值E(X)＝2×＝．

4、 …12分 （文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下： （I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小： （II）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率． 解： （Ⅰ）甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]

5、＝32.25． 甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为： 7，8，10，15，17，19． …7分 二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2020年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下： 分组 频数 频率 5 0.25 12 1 0.05 合计 M 1 【命

6、题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 ，，， 又 解得 ，，， 则组的频率与组距之比为0.12. (4分) ⑵由⑴知，参加服务次数在区间上的人数为人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 ， ， ， . 所以的分布列为： 0 20 40 60 (10分)

7、 (12分) （文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 25 2 0.05 合计 M 1 ⑴求出表中、及图中的值； 三、排列组合和概率相结合 例3【2020东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】 （理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 1

8、5 20 （1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率； （2）从40人中任选两名学生，用表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望. 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为 . ……………………5分 (2)由题意知=0,1,2 则随机变量的分布列： 0 1 2 ……………………13分 样本容量与总体中个体数的比为

9、 所以从三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分 （II）设为从组抽得的2名工作人员，为从组抽得的工作人员，为从组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是： ,共有10种， ------9分 其中没有组工作人员的结果是：有3种， --------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A组工作人员的概率

10、。 -------------------------13分 四．抽样方法与概率相结合 例4【北京市朝阳区高三年级第一次综合练习】 85 80 90 100 95 分数 75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 （理）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀. （Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值； 区间 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 人数 50 a 35

11、0 300 b （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的 分布列与数学期望. 解：（Ⅰ）依题意，. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得：x=30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分 （Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2

12、 P ，所以X的数学期望为. ……………13分 （文）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示． 25 30 35 40 45 50 0.02 年龄 0.08 0.06 0.04 O (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数的值； 区间 [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50] 人数 50 50 150

13、(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率． 解：(Ⅰ)由题设可知，， . ……………2分 (Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人， 利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为： 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有：

14、 共种可能． ………… 10分 其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为． ………………13分 五、独立性检验与概率相结合 例5【河南省开封市2020届高三第二次模拟考试】（理） 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀，甲校： 乙校： (I )计算x，y的值; (II)由以上统计数

15、据填写右面2X2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异. (III)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；若把频率作为概率，现从乙校学生中任取3人，求优秀学生人数的分布列和数学期望; 附： （文）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校： 乙校： (I)计算x，y的值； (II)统计方法中，同一组数据常用该区间的中点值作为代表，试根据抽样结果分别估计甲校和乙校

16、的数学成绩平均分;（精确到0. 1) (III)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，由以上统计数据填写右面2 X 2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 附： 【最新模拟试题精选】 1.【河南省郑州市2020届高三第二次质量预测】 （理）为加强中学生实践、创新能力和同队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题： (I )若用系统

17、抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号； (II)求出a，b,c,d，e的值(直接写出结果），并作出频率分布直方图； (III)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，现在，从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛，某班共有3名同学荣获一等奖，若该班同学参加决赛人数记为X,求X的分布列和数学期望. [解析]　(Ⅰ)编号为004. …………3分 (Ⅱ) a，b，c，d，e的值分别为 13, 4, 0.30, 0.08， 1. ……………6分 (Ⅲ) 在被抽到的学生中获一等奖的人数为2(人)

18、，占样本的比例是＝0.04，即获一等奖的概率为4%，所以获一等奖的人数估计为200×4%＝8(人)，随机变量的可能取值为. ， ， ， . 随机变量的分布列为： ………………………………10分 因为 ， 所以 随机变量的数学期望为. …………………12分 （文）为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行

19、统计.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题： (I)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002,…，199，试写出第二组第一位学生的编号； (II) 求出a,b,c,d,e的值(直接写出结果），并作出频率分布直方图； (III)若成绩在85.5〜95. 5分的学生为二等奖,问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ [解析]　(Ⅰ)编号为004. ……3分 (Ⅱ) a，b，c，d，e的值分别为 13, 4, 0.30, 0.08， 1.…… ……8分 2.【2020海淀区高三年级第二学期期中练习】 （理）某学

20、校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，. （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得： . 所以 . ………………………………………

21、2分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为： ， ………………………………………4分 因为， 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. ………………………………………6分 （Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为， , , ,, . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 ………………………………………12分 .（或） 所以的数学期望为1.

22、 ………………………………………13分 （文）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，. （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿. 解：（Ⅰ）由直方图可得 . 所以. ………………………………………6分 （Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：.

23、 ………………………………………9分 因为 . 所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. ………………………………………13分 按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩． （1）完成下面2X2列联表，并判断能否有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 （2）从B班参加测试的20人中选取2人参加某项活动，2人中成绩优秀的人数记为X，求X的分布列与数学期望． 附： （文）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．两个班同学的成绩（百分制）的茎叶

24、图如图所示： 按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩． （1）根据以上数据完成下面的2X2列联表： （2）能否有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关？附： 4.【河北省石家庄市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题】 （I）解：频率分布表，如下： 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 ……………………………………………………………2分 设分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物

25、运往城市乙；分别表示 （II）设表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则 . 的分布列如下： 42 40 38 36 P 0.2 0.4 0.2 0.2 . ∴　表示汽车A选择公路1时的毛利润为（万元）…………9分 设表示汽车B选择公路2时的毛利润，. 则分布列如下： 42.4 40.4 38.4 36.4 P 0.1 0.4 0.4 0.1 . ∵　 ∴　汽车B为生产商获得毛利润更大.……………12分 (此题根据学生的解题过程酌情增加1分段) （文）有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市

26、乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响. 据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表： 所用的时间（天数） 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 (I)为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆. (i) 若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆； 其中至少有1辆经过公路1的有9种， 所以至少有1辆经过1号公路的概率.…………………6分 　（Ⅱ）频率分布表，如下： 所用

27、时间 10 11 12 13 公路1的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 公路2的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 ………………………………8分 设分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙. 5. 【河北省保定2020届高三下学期第一次模拟考试】 （理）第七届全国农民运动会将于2020年在河南省南阳市举办，某代表队为了在比赛中取 得好成绩，已组织了多次比赛演练．某次演练中，该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑比赛，这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道．

28、 (1)求甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道的概率； (2)若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为X，求X的分布列和数学期望． （文） 为了搞好对水电价格的调研工作，管理部门采用了分层抽样的方法，分别从春之曲、凤凰城、山水人家三个居民区的相关家庭中，抽取若干户家庭进行调研，有关数据见下表 （单位：户） （1)求x，y ； (2)若从春之曲、山水人家两个片区抽取的家庭中随机选2户家庭参加实施办法的听证会，求这2户家庭分别来自春之曲、山水人家两个居民区的概率． 6. 【河南省豫南九校2020届高三第四次联考试题】 （理）某高中社团

29、进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”。通过调查分别得到如图1所示统计表如图2所示各年龄段人数频率分布直方图： 请完成下列问题： （1）补全频率分布直方图，并求的值； （2）从岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，求选取的3名领队年龄在岁的人数为X，求X的分布列和期望E（X）。 或者12分 （文）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计， 随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数. 频率/组距

30、15 25 20 10 0 30 次数 a 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 24 4 0.1 2 0.05 合计 1 （Ⅰ）求出表中及图中的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率. 设在区间内的人为，在区间内的人为. 则任选人共有 ，15种情况， ……10分 而两人都在内只能是一

31、种，所以所求概率为----12分 7.【广东省广州市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题】 图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中 的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示． 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同． （1）求的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差； （3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学 成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和均值（数学期望）． （本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、

32、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得，……………………………1分 解得.……………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为.……………………………3分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为.…5分 （3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有种可能的结果．……………6分 甲 乙 X 这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表： 87 89 96 96 87 0 2 9 9 93 6 4 3 3 93 6 4

33、 3 3 95 8 6 1 1 所以的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得，，，， ，，，. 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 6 8 9 随机变量的数学期望为 .………………………12分 8.【山西省2020年高考考前适应性训练预演预练考试】 （文）为了减少交通事故，某市在不同路段对机动车时速有不同的限制。2020年6月9日，在限速为70km/h的某一路段上，流动测速车对经过该路段的100辆机动车进行测速，右图是所测100辆机动车

34、时速的频率分布直方图。 （Ⅰ）写出被测100辆机动车时速的众数，并估计其中任意一辆车超速的概率； （Ⅱ）求这100辆车中超速的车辆数；若在这些超速车辆中采用分层抽样的方法抽取9辆，计算每一时速段应抽取的车辆数。 （Ⅲ）从超速的车辆中随机抽取1辆，让该车的驾驶员参加《道路交通安全法》知识竞赛，求该车时速在的概率。 （理）为了减少交通事故，某市在不同路段对机动车时速有不同的限制。2020年6月9日，在限速为70km/h的某一路段上，流动测速车对经过该路段的100辆机动车进行测速，下图是所测100辆机动车时速的频率分布直方图。 （Ⅰ）估计这100辆机动车中，时速

35、超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数； （Ⅱ）该市对机动车超速的处罚规定如下：时速超过限定速度10%以内的不罚款；超过限定速度10%（包括10%）以上不足20%的处100元罚款；超过限定速度20%（包括20%）以上不足50%的处200元罚款；……。设这一路段中任意一辆机动车被处罚款金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望。（以被测的100辆机动车时速落入各组的频率作为该路段中任意一辆机动车时速落入相应组的概率） 9.【山西省四校2020届高三第三次联考考试数学(理)】试题中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”

36、和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2020年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）. （1）求此次拦查中醉酒驾车的人数； （2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和期望. （文

37、）（本小题满分12分）调查某高中1000名学生的 身高情况，得下表：已知从这批学生中随机抽取 偏低 正常 偏高 女生（人） 100 173 男生（人） 177 1名学生，抽到偏低男生的概率为0.15。 （1）求的值； （2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随 机抽取50名，问应在偏高学生中抽多少名？ （3）已知，，求偏高学生中男生不少于女生的概率． 解：（1）由题意可知，，∴＝150（人）； ……………4分 （2）由题意可知，偏高学生人数为（人）。设应在偏高学生中抽取 人，则，∴（人） 10.【泸州市高2020级第二次教学质量诊断性考试】 中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望。