高中数学 3-1 正整数指数函数同步练习 北师大版必修1（通用）

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1、3-1 基 础 巩 固 一、选择题 1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(　　) ①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)． A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 [答案]　D [解析]　由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D. 2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{y|y＝x2，x∈N＋}，则(　　) A．AB B．AB C．A＝B D．A⃘B且B⊉A [答案]　D [解析]　∵A＝{2,4,8,16,32，……}， B＝{1,4,9,16,25，……}， ∴2∈A，且2∉

2、B；9∈B且9∉A，故选D. 3．若a>0，n、m为正整数，则下列各式中正确的是(　　) A．am÷an＝a B．an·am＝am·n C．(an)m＝am＋n D．ama－n＝am－n [答案]　D [解析]　由指数幂的运算法则有ama－n＝am－n正确．故选D. 4．已知0

3、图像一定过第四象限． 5．一批价值a万元的设备由于使用时磨损，每年比上一年的价值降低b%，则n年后，这批设备的价值为(　　) A．na(1－b%)万元 B．a(1－nb%)万元 C．a[1－(b%)n]万元 D．a(1－b%)n万元 [答案]　D [解析]　每经过一年磨损，价值变为上一年价值的(1－b%)倍，故经过n年，价值变为a(1－b%)n万元． 6．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过的小时数为(　　) A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时 [答案]　C [解析]　由题意知，刚开始

4、有1个细菌，15分钟后有2个，30分钟后有4个，45分钟后有8个，60分钟后有16个，75分钟后有32个，90分钟后有64个，……，180分钟后有4096个，180分钟＝3小时． 二、填空题 7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________． [答案]　2400元 [解析]　5年后价格为8100×；10年后价格为8100×2；15年后价格为8100×3＝2400(元)． 8．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩

5、电原价是________元． [答案]　2250 [解析]　设原价为a，则a·(1＋40%)×0.8－a＝270，解得a＝2250(元)． 三、解答题 9．(2020·枣庄高一检测)农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2020年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2020年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2020年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42) [分析]　本小题主要考查指数函数型的

6、实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力． [解析]　农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)， ∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)． 答：2020年该地区农民人均收入约为16602元. 能 力 提 升 一、选择题 1．(2020·济宁模拟)若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 [答案]　B [解析]　∵f(x)＝3x(x∈N且

7、x<0)， ∴y＝f(－x)＝3－x＝()x， ∴函数为减函数，故选B. 2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2020年这10年间每两年上升2%,2020年和2020年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2020年到2020年种植绿色植被面积为(四舍五入)(　　) A．848万m2 B．1679万m2 C．1173万m2 D．12494万m2 [答案]　B [解析]　2020～2020年为815×(1＋2%)，2020～2020年为815×(1＋2%)×(1＋2%)． 共为815×(1＋2%)＋815

8、×(1＋2%)(1＋2%)≈1679. 二、填空题 3．某厂2000年的生产总值为x万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到2020年的生产总值是________万元． [答案]　x(1＋12%)12 [解析]　2001年生产总值为x(1＋12%)； 2002年生产总值为x(1＋12%)2；…… ∴2020年，产品总产值为x(1＋12%)12. 4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次． [答案]　8 [解析]　设原有空气为1，则抽1次后为1×(1－60%)＝0.4；抽2次后为0.4×(1－60%)＝0.

9、42，…… 抽7次后为0.47≈0.0016>0.1%， 抽8次后为0.48≈0.00066. 故至少应抽8次． 三、解答题 5．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)． (1)求y与x的函数关系y＝f(x)； (2)求函数y＝f(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义． [解析]　(1)1999年年底的人口数：13亿； 经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)； 经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋

10、1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)； 经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)． ∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同． ∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)， ∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)． (2)理论上指数函数定义域为R， ∵此问题以年作为单位时间， ∴x∈N是此函数的定义域． (3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x， ∵1＋1‰>1,13>0， ∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数， 即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长． 6．某

11、公司拟对外投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元) [解析]　本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元，年利率9%，按每年复利计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见，按年利率9%每年复利一次计算要比年利率10%单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元． 7．某种商品进价每个80元，零售价每个10

12、0元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%. (1)写出礼品价值n元时，利润yn(元)与n的函数关系式； (2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润． [解析]　(1)设未赠礼品时的销量为m件． 则当礼品价值为n元时，销售m(1＋10%)n件， 利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n ＝(20－n)m×1.1n(0y11>y12>…>y19. 所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．