2020高考数学 冲刺必考专题解析 代数推理问题怎么解

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1、代数推理题怎么解 数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中. 例1设函数，已知，时恒有，求a的取值范围. 讲解: 由 , 从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值. 当直线与半圆相切时，

2、易求得舍去）. 故. 本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行. 例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围. 讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数. ∵n是大于1的 正整数， 对一切大于1的正整数恒成立，必须, 即 这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通,

3、 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论. 例3 已知函数在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值. 讲解: 由已知二次函数配方, 得 时，的最大值为4b2+3=25. 上递增， 上递增， . 关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中

4、的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握. 例4已知 的单调区间； （2）若 讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 , （2）首先证明任意 事实上, 而 . 函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆

5、向分析法, 给出你的想法! 例5 已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）． (1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称． (2) 令an＝，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之． (3) 求证：∈Ｎ). 讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法. 设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ）， ∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上， 故函数f(x)的图象关于点P()对称. (2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜

6、a=3, 即3ｎ＞ｎ２． 下面用数学归纳法证明． 设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２． 那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２ 又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ） ∴３ｎ＞ｎ２. (3)∵３ｋ＞ｋ２ ∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ 令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得： 函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力. 例6 已知二次函数，设方程的两个实根为x1和x2. （1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x0＞－

7、1； （2）如果，求b的取值范围. 讲解:（1）设，由得, 即 ， 故； （2）由同号. ①若. 又，负根舍去）代入上式得 ，解得； ②若 即4a－2b+3＜0. 同理可求得. 故当 对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力. 例7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且 （1）求函数的解析式； （2）已知各项不为零的数列，求数列通项； （3）如果数列满足，求证：当时，恒

8、有成立. 讲解: 依题意有,化简为 由违达定理, 得 解得 代入表达式，由 得 不止有两个不动点， （2）由题设得 （*） 且 （**） 由（*）与（**）两式相减得： 解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，； （3）采用反证法，假设则由（1）知 ,有 ，而当这与假设矛盾，故假设不成立，. 关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上: 由得<0或 结论成立； 若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.

9、 比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进. 例8 设a，b为常数，：把平面上任意一点 （a，b）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象. 讲解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同， 即 对一切实数x均成立. 特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立. 故不存在两个不同点对应

10、同函数. （2）当时，可得常数a0，b0，使 = 由于为常数，设是常数. 从而. （3）设，由此得 在映射F之下，的原象是（m，n），则M1的原象是 . 消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆. 本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值. 例9 已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2. （1）求f(1)的值; （2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t； （3）试求满

11、足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由. 讲解 （1）为求f(1)的值，需令 令. 令. （2）令(※) . 由, , 于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t. （3）由※及（1）可知. 下面证明当整数. (※)得 即……， 将诸不等式相加得 . 综上，满足条件的整数只有t=1，. 本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查. 例10 已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，且满足x、y∈（－1，1） 有 ． （1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数； （2）对数列求； （3）求证 讲解 （1）令则 令则 为奇函数. （2）， 是以－1为首项，2为公比的等比数列． （3） 而 本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.