2020届高三数学二轮复习 专题一 第2讲 函数的图象与性质教案

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1、第2讲　函数的图象与性质 自主学习导引 真题感悟 1．(2020·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A．y＝x＋1 　 B．y＝－x3 　 C．y＝ 　 D．y＝x|x| 解析　利用排除法求解． A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D. 答案　D 2．(2020·山东)函数y＝的图象大致为 解析　利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解． ∵y＝f(x)＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A；当x从正方向趋近0时，y＝f(x)＝趋近＋∞，排除选项B；当x趋

2、近＋∞时，y＝f(x)＝趋近0，排除选项C.故选择选项D. 答案　D 考题分析 高考考查函数的性质主要是单调性、奇偶性与周期性的应用，考查图象时一般以图象的应用与识别为主，题目立意多样、角度很灵活，高、中、低档题目皆有，题型有选择题，也有填空题，若为解答题，则与导数相结合． 网络构建 高频考点突破 考点一：函数及其表示 【例1】(1)(2020·衡水模拟)函数y＝ 的定义域为 A．(0,8]　　 B．(－2,8]　　 C．(2,8]　　 D．[8，＋∞) (2)(2020·石家庄二模)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是 A．7 B．

3、2 C．5 D．3 [审题导引]　(1)根据函数解析式的结构特征列出不等式组并解之； (2)根据自变量的范围代入解析式求解． [规范解答]　(1)⇒⇒－2＜x≤8， ∴函数的定义域为(－2,8]． (2)∵f(1)＝log21＝0，log3＜0， ∴f(f(1))＋f＝f(0)＋＋1 ＝90＋1＋＋1＝7. [答案]　(1)B　(2)A 【规律总结】 1．求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可． (2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域[a，b]

4、，其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出． (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 2．求f(g(x))类型的函数值 应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图象、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性． 【变式训练】 1．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(x)的定义域是________． 解析　要使函数g(x)有意义，则需f(x)＞0，由函数f(x)的图象知2＜x≤8， 即函数g(x)＝f(x)的定义域为(2,8]． 答案　(2,8]

5、2．已知函数f(x)＝2x－，且g(x)＝则函数g(x)的最小值是________． 解析　易知g(x)＝ ∵当x≥0，g′(x)＝(2x＋2－x)ln 2＞0， ∴g(x)min＝g(0)＝0， 当x＜0时，g′(x)＝－(2x＋2－x)ln 2＜0， ∴g(x)＞g(0)＝0. 故函数g(x)的最小值为g(0)＝0. 答案　0 考点二：函数的图象 【例2】(1)(2020·丰台二模)已知函数y＝sin ax＋b(a＞0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是 (2)(2020·武威模拟)函数y＝的图象大致是 [审题导引]　(1)利用已知函

6、数的图象求出a，b的范围，再选择y＝loga(x＋b)的图象； (2)利用函数y＝的性质，结合排除法求解． [规范解答]　(1)由y＝sin ax＋b的图象知其周期T＝＞2π， ∴0＜a＜1.又∵0＜b＜1，故选A. (2)∵x＝±1是y＝的零点，且当x＞1时，y＞0， 当0＜x＜1时，y＜0，故可排除A、B. 当x＞0时，y＝，由于函数y＝x的增长速度要大于函数y＝ln x的增长速度， 故当x→＋∞时，y＝→0. 故可排除D，选C. [答案]　(1)A　(2)C 【规律总结】 函数图象的识别方法 (1)性质法：在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，

7、结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系． (2)图象变换法：根据函数解析式之间的关系，或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的图象． 【变式训练】 3．(2020·兰州模拟)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的 解析　因函数y＝是偶函数，故排除A， 又x∈时，x＞sin x， 即＞1，排除B，D，故选C. 答案　C 4．(2020·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为 解析　由y＝f(x)的图象写出f(

8、x)的解析式． 由y＝f(x)的图象知f(x)＝. 当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]， 所以f(2－x)＝， 故y＝－f(2－x)＝.图象应为B. 答案　B 考点三：函数的性质及应用 【例3】(1)(2020·湘潭二模)已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是 A．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6) B．f(－0.5)＜f(0.6)＜f(0) C．f(0)＜f(0.6)＜f(－0.5) D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6) (2)(2020·聊城二模)设函数f(x)是定义在R

9、上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x，则f(2 012)－f(2 011)的值为 A．－ B. C．2 D．－2 [审题导引]　(1)利用函数f(x)的奇偶性与单调性比较各数的大小； (2)利用函数的周期性与奇偶性求解． [规范解答]　(1)f′(x)＝2x＋sin x， ∴当x＞0时，f′(x)＞0， 即f(x)＝x2－cos x在(0，＋∞)上是增函数， 又f(x)是偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)， ∴f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)． (2)由题可知函数的周期为4，

10、故f(2 012)－f(2 011)＝f(0)－f(－1)＝0－2－1 ＝－. [答案]　(1)A　(2)A 【规律总结】 函数性质的综合应用 求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路，即把自变量化归到已知区间中，然后根据函数的有关性质进行求解，如例3第(1)题中要比较f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小，就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到[0，＋∞)内，然后根据函数的单调性比较它们的大小． [易错提示]　常见周期函数的几种形式 函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合，常涉及函数周期的求解，常见形式主要有以下几种： (1)如果f(

11、x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝|a－b|； (2)如果f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|； (3)如果f(x＋a)＝－f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a； (4)如果f(x＋a)＝或者f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a； (5)如果函数f(x)既有对称中心，又有对称轴，则该函数是一个周期函数，若其中的对称中心为(a，m)，与其相邻的对称轴为x＝b，则该函数的一个周期为T＝4|a－b|. 【变式训练】 5．(20

12、20·东莞二模)已知函数f(x)＝(x∈R)的最大值为M，最小值为m，则M＋m的值为________． 解析　f(x)＝＝1－， 令g(x)＝－，易知g(x)是R上的奇函数， 设g(x)的最大值为a，则其最小值为－a， ∴M＝1＋a，m＝1－a，∴M＋m＝2. 答案　2 6．(2020·龙岩模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(2 012)＝ A．－2 B．0 C．2 D．3 解析　∵f(x＋1)是奇函数， 则函数y＝f(x＋1)的图象关于(0,0)对称， ∴函数y＝f(x)的图象关于(1

13、,0)对称， 即f(2－x)＋f(x)＝0.① ∵f(x－1)是偶函数，即其图象关于直线x＝0对称， ∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 即f(x)＝f(－2－x)．② 由①②两式得f(2－x)＝－f(－2－x)， 即f(x＋4)＝－f(x)，③ 可得f(x＋8)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝8. ∴f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)，在③式中， 令x＝0得f(4)＝－f(0)＝－2， ∴f(2 012)＝－2. 答案　A 名师押题高考 【押题1】在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sin ax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则

14、下列所给图象中可能正确的是 解析　当a＞1时，y＝sin ax的周期T＝＜2π，可排除A，C. 当0＜a＜1时，y＝sin ax的周期T＝＞2π，可排除B，故选D. 答案　D [押题依据]　高考对函数的图象的考查有识图、用图、作图三个方面，利用函数的性质与函数图象变换的方法考查对函数图象及性质的理解是高考的热点，本题考查利用函数解析式中参数范围对函数图象的影响，难度较小，故押此题． 【押题2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 A．[，＋∞)　　　　 B．[，) C．[，3) D．[，＋∞) 解析　∵当x≥0时，f(x)＝x2且f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(x＋t)≥2f(x)＝f(x)，且f(x)是定义在R上的单调递增函数，∴x＋t≥x，整理得，(－1)x≤t，由于y＝(－1)x在x∈[t，t＋2]时单调递增，所以(－1)(t＋2)≤t，解得t≥. 答案　A [押题依据]　利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要的题型，是高考的热点．本题利用函数的奇偶性推出函数的单调性并能恰当地加以应用，对函数的奇偶性考查较为容易，而着重考查了函数的单调性，符合高考的要求，故押此题．