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1、2020届高中数学二轮总复习 综合训练（三） 理 新课标(湖南专用)
时量：50分钟 满分：50分
解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1.已知钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且有(a－c)cosB＝bcosC.
(1)求角B的大小；
(2)设向量m＝(cos2A＋1，cosA)，n＝(1，－)，且m⊥n，求tan(＋A)的值．
解析：(1)因为(a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理，得(sinA－sinC)cosB＝sinB·cosC，
所以sinA·cosB－si
2、nC·cosB＝sinB·cosC，
即sinA·cosB＝sinB·cosC＋sinC·cosB，
所以sinA·cosB＝sin(B＋C)．
因为在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，
所以sinAcosB＝sinA.
又sinA≠0，所以cosB＝，B＝.
(2)因为m⊥n，所以m·n＝0，
即cos2A＋1－cosA＝0，所以2cos2A－cosA＝0，
即2cosA(cosA－)＝0.
因为cosA≠0，所以cosA＝，
所以sinA＝，tanA＝，
则tan(A＋)＝＝＝7.
2.设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1
3、,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]上任取一个数，b是从区间[0,2]上任取一个数，求方程有实根的概率．
解析：方程有实根的充要条件为a2≥b2.
(1)基本事件共12个，其中(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)满足条件，则P＝＝.
(2)试验的全部结果构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以P＝＝.
3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行
4、四边形，SA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝1，SB＝，∠BAD＝120°，E在棱SD上．
(1)当SE＝3ED时，求证SD⊥平面AEC；
(2)当二面角S－AC－E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．
解析：方法1：(1)在平行四边形ABCD中，由AD＝1，CD＝2，∠BAD＝120°，易知CA⊥AD.
又SA⊥平面ABCD，所以CA⊥SA，
所以CA⊥平面SAD，所以SD⊥AC，
在直角三角形SAB中，易得SA＝，
在直角三角形SAD中，∠ADE＝60°，SD＝2，
又SE＝3ED，所以DE＝，
可得AE＝
＝
＝.
所以AE2＋DE2＝AD
5、2，所以SD⊥AE.
又因为AC∩AE＝A，所以SD⊥平面AEC.
(2)由(1)可知，CA⊥SA，CA⊥AE，
可知∠EAS为二面角E－AC－S的平面角，
所以∠EAS＝30°，此时E为SD的中点．
过A作AF⊥CD，连接SF，
则CD⊥平面SAF，所以平面SAF⊥平面SCD.
作AG⊥SF，则AG⊥平面SCD，连接EG.
可得∠AEG为直线AE与平面SCD所成的角．
因此AF＝，SA＝，
所以AG＝＝.
在Rt△AGE中，sin∠AEG＝＝，
直线AE与平面CDE所成角的正弦值大小为.
方法2：依题意易知CA⊥AD，SA⊥平在ACD.
以A为坐标原点，AC、
6、AD、SA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则易得A(0,0,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，S(0,0，)．
(1)由SE∶ED＝3，有E(0，，)，
易得，从而SD⊥平面ACE.
(2)由AC⊥平面SAD，二面角E－AC－S的平面角，∠EAS＝30°.
又易知∠ASD＝30°，则E为SD的中点，
即E(0，，)．
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，令z＝1，得n＝(1，，1)。
从而cos〈，n〉＝＝
＝.
直线AE与平面CDE所成角的正弦值大小为.
4.某企业生产并直销某品牌高科技电子产品，由以往的销售情况可知，今后该产品的销售状况呈
7、现如下趋势，若该产品的日销售量为x件时，每件产品的销售利润g(x)(单位：万元)近似地满足：g(x)＝，设日销售量为x件的总利润为f(x)．
(1)若要求日销售总利润f(x)超过x万元，则日销售量x应控制在什么范围内？
(2)若该企业为实现节能减排的环保目标，要求该产品的日销售量x∈[6,16]，试问在实现环保目标的条件下，该产品的日销售总利润f(x)在什么范围内？
解： 由题意知f(x)＝，
(1)当0x，即f(x)>x成立，
所以04时，由f(x)>x，即>x，
得x－2－3<0，
解得0<<3，即00，f(x)递增．
所以x＝9时，[f(x)]min＝＝9.
又x＝6时，f(6)＝＝4，
x＝16时，f(16)＝＝>4.
故产品的日销售总利润f(x)在[9，]万元之间．
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