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1、专题升级训练19 几何证明选讲
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
1．如图在⊙O中，弦AB与CD相交于P点，∠B＝30°，∠APD＝80°，则∠A＝( )．
A．40° B．50° C．70° D．110°
2．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，PC＝5，则⊙O的半径是( )．
A． B． C．10 D．5
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都
2、相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为( )．
A．1 B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
4．(2020·广东梅州中学三模，14)如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．
5．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为___________.
6．如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为
3、⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C＝__________.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝__________.
三、解答题(本大题共5小题，共58分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
8．(本小题满分11分)如图，在ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求ABCD的面积．
9．(本小题满分11分)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于
4、点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
10．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，过D与BC平行的直线交AB于点E，∠ACE＝∠ABC，求证：AB·CE＝AC·DE.
11．(本小题满分12分)(2020·河北唐山三模，22)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D，E，连接DE.
(1)若BD＝6，求线段DE的长；
(2)过点E作半圆O的切线，交AC于点F，证明：AF＝EF.
12．(本小题满分12分)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
5、
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．
参考答案
一、选择题
1．B 解析：∵∠APD＝∠B＋∠D，∴∠D＝50°，
又∵∠D＝∠A，∴∠A＝50°.
2．A 解析：如图，连接OC，则∠PAC＝30°，由圆周角定理知∠POC＝2∠PAC＝60°，由切线性质知∠OCP＝90°，∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝，∴OC＝＝＝.∴选A.
3．C 解析：观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD的长度为.
6、
二、填空题
4．4
5．12∶5
6．90° 解析：∠A＋∠B＋∠C＝(的度数＋的度数＋的度数)＝×180°＝90°.
7．2 解析：由已知，得BD＝AD＝BC.因为BC2＝CD×AC＝(AC－AD)×AC，
所以BC2＝(AC－BC)×AC，解得AC＝2.
三、解答题
8．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，∴＝＝，
＝＝.
∵S△DEF＝2，∴S
7、△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16，
∴SABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
9．证明：连接OD，BD.
因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB＝90°，AB＝2OB.
因为DC是圆O的切线，
所以∠CDO＝90°.
又因为DA＝DC，
所以∠A＝∠C.
于是△ADB≌△CDO，
从而AB＝CO，
即2OB＝OB＋BC，得OB＝BC.
故AB＝2BC.
10．证法一：∵AB∥CD，
∴＝，即＝. ①
∵DE∥BC，
∴＝，即＝.
8、 ②
由①②得＝， ③
∵∠FDC＝∠B＝∠ECF，∠DEC＝∠CEF，
∴△EFC∽△ECD.∴＝. ④
由③④得＝，即AB·CE＝AC·DE.
证法二：∵AB∥CD，DE∥BC，
∴四边形BEDC是平行四边形．
∴DE＝BC.
∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠CAB，
∴△AEC∽△ACB，∴＝.
∴＝，即AB·CE＝AC·DE.
11．(1)解：∵BD是直径，∴∠DEB＝90°.∵∠C＝90°，
∴cos∠B＝＝＝.∵BD＝6，∴BE＝.
9、
在Rt△BDE中，DE＝＝.
(2)证明：连接OE，∵EF为切线，∴∠OEF＝90°.
∴∠AEF＋∠OEB＝90°.
又∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B.
∴∠AEF＝∠A，∴AF＝EF.
12．(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)解：因为△ABE∽△ADC，所以＝，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，
则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.
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